专题05 函数基本性质的灵活应用（单调性与奇偶性，重难点突破）-【课后优辅导】2023年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题05 函数基本性质的灵活应用（单调性与奇偶性） 1、函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2、函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得 （3）对于任意的，都有； （4）存在，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 3、函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反； （3）函数在公共定义域内与，的单调性相反； （4）函数在公共定义域内与的单调性相同； （5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 4、函数的奇偶性 （1）．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． （2）．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数． （7）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． 重难点突破1 判断或证明函数的单调性 1.（单调性不能混合乘除）复合函数的单调性①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数； ②增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数； ③如果是增函数，那么是减函数，也是减函数。 2．判断函数单调性的方法： （1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小． （2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”． （3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性. 3．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间． 例1、（2022秋·天津北辰·高一校考阶段练习）下列函数中，在区间上是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 1、（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）（多选题）下列函数在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 例2、（2023春·云南玉溪·高一统考期末）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范