专题03 基本不等式（重难点突破）-【课后优辅导】2023年秋季高一数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题03 基本不等式 知识点一：基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 知识点二：用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 知识点三：基本不等式的变形与拓展 1．(1)、若,则；(2)、若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)、若,则；(2)、若,则（当且仅当时取“=”）； (3)、若,则（当且仅当时取“=”）． 3．(1)、若,则（当且仅当时取“=”）；(2)、若,则（当且仅当时取“=”）；(3)、若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．(1)、若,则（当且仅当时取“=”）；(2)、若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间： 重难点突破(一) 基本不等式的简单应用 例1.（1）、（2022秋·甘肃临夏·高一校考期中）若，则函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 （2）、（2023春·湖北恩施·高二校考期末）若，则的最小值为 ． 【变式训练1-1】、（2023春·江苏徐州·高二统考阶段练习）若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】、（2023春·青海海东·高一统考阶段练习）已知两个正数满足，则的最小值为 ． 重难点突破(二) 利用基本不等式求最小值 例2.（1）、（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考期中）已知，则的最小值为（      ） A．0 B．1 C．2 D．3 （2）、（2023春·甘肃天水·高二校考期中）已知，则的最小值是 . 【变式训练2-1】、（2023春·贵州遵义·高一统考期中）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】、（2021秋·高一课时练习）（多选题）已知，，且，则（　　） A． B． C． D． 重难点突破(三) 利用基本不等式求最大值 例3.（1）、（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为 . （2）、（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式训练3-1】、（2023春·陕西·高二校联考期中）已知，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式训练3-2】、（2022秋·新疆·高一兵团第一师高级中学校考阶段练习）若，则的最大值是 ． 重难点突破(四) 不等式变形技巧：“1”的代换 例4.（1）、（2023春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）设，且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 （2）、（2023秋·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）若，，且，则的最小值为 ． 【变式训练4-1】、（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式训练4-2】、（2022秋·山东临沂·高一校考阶段练习）（多选题）设正实数， 满足 ，则（    ） A． 有最大值 B． 有最大值 C． 有最大值 D． 有最小值 例5.（1）、（2022秋·安徽芜湖·高二校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 （2）、（2023春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知，其中，，，则的最小值为 ． 【变式训练5-1】、（2023春·天津南开·高二天津市第二南开中学校考阶段练习）已知且，则的最小值是 ． 【变式训练5-2】、（2023·全国·高三专题练习）已知实数，若，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D．8 重难点突破(五) 不等式的证明技巧与综合处理技巧 例6.（2023春·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考阶段练习）若正数a，b，c满足. (1)求的最大值； (2)求证：. 【变式训练6-1】、（2023·全国·高一假期作业）（1）已知，，，求证：； （2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：. 重难点突破(六) 均值不等式在实际问题中的应用 例7.（2020秋·高一课时练习）建造一个体积为，高为的长方体简易木屋，如果屋顶和四周墙壁的造价分别为40元/和30元/，而整修木屋地面