专题04 角平分线模型的三种考法-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题04 角平分线模型的三种考法 类型一、角平分线上的点向两边作垂线 例1．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是 ． 【变式训练1】如图，、是四边形的对角线，平分，，已知，则 ． 【变式训练2】已知：是的角平分线，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，点E在上，连接并延长交于点，交CA的延长线于点，且，连接． ①求证：； ②若，且，求的长． 【变式训练3】在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标且a，b满足 ． （1）求A、B两点的坐标； （2）如图（1），点C为x轴负半轴一动点，，于D，交y轴于点E，求证：平分． （3）如图（2），点F为的中点，点G为x正半轴点右侧的一动点，过点F作的垂线，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时，的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果． 类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形 例．已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长． 【变式训练1】已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD． 求证：BE=AD． 【变式训练2】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，AE=BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF 类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短 例．如图，在中，，平分交于，求证：. 【变式训练1】如图所示，在中，，是的角平分线，交于点，求证：． 【变式训练2】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题: 如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E： (1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________. (2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想. (3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.        【变式训练3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC． （1）求证：∠ABD=∠ACD； （2）求证：AD平分∠CDE； （3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数． 【变式训练4】如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，． (1)求证：； (2)在（1）中点C的坐标为，点E为上一点，且，如图2，求的长； (3)在（1）中，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当点H在上移动、点G在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 课后训练 1．如图，在中，，、分别是、的平分线，、相交于点，试判断和之间的数量关系. 2．如图，在中，，平分，交于，于，求证：. 3．如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数． 4．如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，． （1）求证； （2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值． 5．如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．    (1)求证：平分； (2)连接交于点G，若，求证：； (3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 6．已知中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点． (1)如图，求证：．    (2)如图，连接，求证：平分．    (3)如图，若，，，求的值．    7．已知：在和中，，，． (1)如图1，A，C，D在同一直线上，延长交于F，求证：； (2)如图2，与交于F，G在上，若平分，求证：点C在直线上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 角平分线模型的三种考法 类型一、角平分线上的点向两边作垂线 例1．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是 ． 【答案】5 【分析】过D作，，交延长线于F，然后根据全等三角形的性质和角直角三角形的性质即可求解． 【详解】过D作，，交延长线于F， ∵AD平分，，， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题