第一章 特殊的平行四边形 3 正方形的性质与判定-【天成导学·金典同步练】2023-2024学年九年级全一册数学课时练（广东专版）

数学 九年级全一册 BS 3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 知识点 正方形的性质 ❶如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD 相交于 点O,OA=3,则此正方形的面积为 ( ) A.32 B.12 C.18 D.36 ❷如图,在菱形ABCD 中,∠B=60°,AB=4,则 以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为 ( ) A.14 B.15 C.16 D.17 第2题图 第3题图 ❸(2023·宜昌模拟)如图,在正方形ABCD 外 侧,作等边三角形ADE,AC,BE 相交于点F, 则∠BFC 为 ( ) A.75° B.60° C.55° D.45° ❹如图,在正方形ABCD 和正方形CEFG 中,点 D 在CG 上,BC=1,CE=3,H 是AF 的中 点,那么CH 的长是 ( ) A.25 B.5 C.35 D.2 第4题图 $ $
" "
# #
% %
第5题图 ❺(传统文化)(2022·嘉兴)“方胜”是中国古代 妇女的一种发饰,其图案由两个全等正方形相 叠组成,寓意是同心吉祥.如图,将边长为2 cm 的正方形ABCD 沿对角线BD 方向平移1 cm 得到正方形A'B'C'D',形成一个“方胜”图案, 则点D,B'之间的距离为 (D ) A.1 cm B.2 cm C.(2-1) cm D.(22-1) cm ❻正方形ABCD 的边AB 上有一动点E,以EC 为边作矩形ECFG,且边FG 过点D.在点E 从点A 移动到点B 的过程中,矩形ECFG 的 面积 ( ) A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.一直变大 D.保持不变 第6题图 第7题图 ❼(易错题)嘉嘉同学遇到这样一道题:“如图,正 方形ABCD 中,P 是对角线BD 上一点,PE ⊥BC 于点E,PF⊥CD 于点F,连接 AP, EF.”关 于 这 道 题 有 下 列 说 法:① 四 边 形 PECF 是矩形;②AP=EF;③PD=AD;④ AP⊥EF,其中正确的说法是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ ❽(2022·恩施)如图,已知四边形ABCD 是正 方形,G 为线段AD 上任意一点,CE⊥BG 于 点E,DF⊥CE 于点F.求证:DF=BE+EF. $ " # % & ' ( 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9 金典同步练 双减新练案 ❾如图,在边长为6的正方形ABCD 中,E 是边 CD 的中点,将△ADE 沿AE 对折至△AFE, 延长EF 交边BC 于点G,连接AG. (1)求证:△ABG≌△AFG; (2)求BG 的长. (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠B = ∠D =90°,AD =AB. 由折叠的性质可知,AD= AF,∠AFE=∠D=90°, ∴∠AFG=90°,AB=AF, ∴∠AFG=∠B=90°. 又∵AG=AG, ∴△ABG≌△AFG(HL); (2)解:∵△ABG≌△AFG,∴BG=FG. 设BG=FG=x,则GC=6-x. ∵点E 为CD 的中点, ∴在Rt△GCE 中,由勾股定理得32+(6-x)2 =(x+3)2,解得x=2, ∴BG=2. 􀀡􀀪如图,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点,∠AEF=90°,且EF 交正方形外角的 平分线CF 于点F.求证:AE=EF.(提示:取 AB 的中点H,连接EH.) 证明:取 AB 中点 H,连 接EH. 又E 为BC 的中点,四边 形ABCD 是正方形, ∴AH=EC,BH=BE, ∴△BHE 为等腰直角三角形, ∴ ∠BHE =45°,∠AHE =180°- ∠BHE =135°. 又∠AEF=90°,∠B=90°, ∴∠1+∠AEB=90°,∠2+∠AEB=90°, ∴∠1=∠2. 又EF 交正方形外角的平分线CF 于点F, ∴∠DCF=∠FCG=12∠DCG=45° ,∠ECF= 90°+∠DCF=135°. 在△AHE 和△ECF 中, ∠1=∠2, AH=EC, ∠AHE=∠ECF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 ∴△AHE≌△E