精品解析：北京市第五十七中学2024届高三暑期检测(开学考试)数学试题

北京市第五十七中学高三暑期检测 数学试题 一、选择题：每题4分，共计40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B.  C.  D. 2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数是（ ） A. 奇函数，且最小值为 B. 奇函数，且最大值为 C. 偶函数，且最小值为 D. 偶函数，且最大值为 5. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 6. 如果函数在定义域内存在区间，使在上的值域是，那么称为“倍增函数”，若函数为“倍增函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 8. 已知函数，若存在使得恒成立，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 9. 数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知成等比数列，且．若，则 A. B. C. D. 二、填空题：共计5题，总分25分. 11. 若复数，，则的共轭复数的虚部为______． 12. 若函数在区间内是减函数，则实数取值范围是_______. 13. 若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是______． 14. 已知数列的前项和为，，.是等差数列，且，，则的通项公式为________；设，求=________. 15. 已知函数，给出下列命题： （1）无论取何值，恒有两个零点； （2）存在实数，使得的值域是； （3）存在实数使得的图像上关于原点对称的点有两对； （4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是. 其中，所有正确命题序号是___________. 三、解答题：总分85分. 16. 已知函数（，）．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知， 条件①：的最大值为1； 条件②：一条对称轴是直线； 条件③：相邻两条对称轴之间的距离为． 求： （1）函数的解析式； （2）若将函数图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图像，若在区间上的最小值为，求的最大值． 17. 中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长． 18. 已知函数，其中. （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线在点处切线与y轴的交点为，求的最小值. 19. 已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，，直线的方程为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点．过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点．求的大小． 20. 已知函数（）． （1）求的单调区间； （2）若，求证：函数只有一个零点，且； （3）当时，记函数的零点为，若对任意且，都有，求实数的最大值． 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市第五十七中学高三暑期检测 数学试题 一、选择题：每题4分，共计40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B.  C.  D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，再判断集合关系即可. 【详解】解：不等式等价于，解得 所以， 因为 所以，，. 故选：B 2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数诱导公式并结合正弦函数的定义即可得解. 【详解】依题意得,又因为，所以有. 故选：. 3. 下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断为偶函数，在上单调递增，再根据奇偶性