1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系8题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高二数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系8题型分类 一、空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点的位置向量: 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间中直线的向量表示式: 直线l的方向向量为a，且过点A，如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝＋ta，① 把＝a代入①式得 ＝＋t，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 3．空间中平面的向量表示式： (1)平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.③ 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． (2)平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 二、空间中直线、平面的平行 1．线线平行的向量表示： 设u1，u2分别是l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 2．线面平行的向量表示： 设u是l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 3．面面平行的向量表示: 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 三、空间中直线、平面的垂直 1．线线垂直的向量表示: 设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2．线面垂直的向量表示: 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 3．面面垂直的向量表示: 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. （一） 直线的方向向量 理解直线方向向量的概念： (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． （3）直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的方向向量． 题型1：直线的方向向量 1-1．（2023·江苏·高二专题练习）已知，在直线l上，写出直线l的一个方向向量： ． 1-2．（2023·江苏·高二专题练习）若向量都是直线的方向向量，则 . 1-3．（2023春·江苏·高二期末）已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1-4．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量． （二） 平面的法向量 求平面法向量的方法与步骤： (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (2)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，； (3)联立方程组并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 题型2：平面的法向量 2-1．（2023·上海·高二专题练习）设为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 2-2．（2023·全国·高二专题练习）若，，则以下向量中，能成为平面的法向量的是（　　） A． B． C． D． 2-3．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）已知向量，则平面的一个法向量（    ） A． B． C． D． 2-4．【多选】（2023·江苏·高二专题练习）在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是 （    ）    A．直线 的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 2-5．（2023秋·山东济宁·高二校考阶段练习）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C．D． 2-6．（2023·江苏·高二专题练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 2-7．（2023·江苏·高二专题练习）已知平面α内两向量，且.若为平面α的法向量，则m，n的值分别为（　　） A．-1，2 B．1，-2 C．1，2 D．-1，-2 （三） 证明线线平行 利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 题型3：利用向量证明线线平行 3-1．（2023