1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版(2019)选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.4.1 空间中点、线、面 的向量表示（1） 一.复习回顾 平面向量 空间向量 代数运算 推广 建系 空间向量解决了哪些几何问题？ 问题 距离问题 夹角问题 平行、垂直问题 二.探究新知 几何中 点 线 面 向量中 ？ ？ ？ 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面． 二.探究新知 如何用向量表示空间中的一个点？ 思考1 定点O P p 向量的坐标 起点的坐标 终点的坐标 坐标 如图，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量 来表示，我们把向量 称为点P的位置向量. 点→点+位置向量 P 几何中 向量中 点 方向向量 a A B 如图所示，a是直线l的方向向量，在直线l上取= a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线可知： 点P在直线l上 存在实数t，使得= ta，即= t 充要条件 一个点 一个方向 + 如何用向量表示空间中的直线？ 思考2 线→点+方向向量 + = t P a A B 进一步地，如图，取定空间中的任意一点O， O 可以得到：P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 =+t ① 或=+t ② ① ②式称为空间直线l的向量表示. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 你能证明这个结论吗？ 1.例1. 三.巩固新知 2.变式练习. （1）不共线的三点确定一个平面 （2）直线和直线外一点确定一个平面 （3）两条相交直线确定一个平面 （4）两条平行直线确定一个平面 （5）一个定点和两个定方向确定一个平面？ a b =x+ = +x+ B C P A O 如何用向量表示空间中的平面？ 思考3 B C A 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． ③ 面→点+两个不共线向量 l （5）一个定点和两个定方向确定一个平面？ （6）一个定点和一个定方向确定一个平面？ A P 平面过点A，且是唯一的 a 直线l，取直线l的方向向量a，称向量a为平面的法向量. 可以表示为集合{P=0} a b A 如何用向量表示空间中的平面？ 思考3 面→点+一个法向量 m n 一个平面的法向量有无数个， 他们之间的关系是共线的 例1. 作业及练习 总结：如何求平面的法向量 变式 二.典例剖析 例1．已知长方体ABCD-­A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系， （1）求平面BCC1B1的一个法向量． （2）求平面MCA1的一个法向量． x y z D A B C D1 A1 B1 C1 M 练习 练习3．在长方体ABCD-­A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，以D为原点，以{, , }为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面ACD1的一个法向量． x y z D A B C D1 A1 B1 C1 1、判断下列命题是否正确 (1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量。 （ ） (2)若v是直线l的方向向量，则λv(λ∈R)也是直线l的方向向量。 （ ） (3)在空间直角坐标系中,j=(0,0,1)是坐标平面Oxy的一个法向量。 ( ) 2、在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，a , b , c ,O是BD1与B1D的交点. 以{a,b,c}为空间的一个基底，求直线OA的一个方向向量. 练习 三.课堂小结 1、空间中点、直线和平面的向量表示 点→点+位置向量 线→点+方向向量 平面→点+法向量 设向量 选向量 列方程组 解方程组 赋非零值 得结论 2、归纳求平面法向量的步骤： 四.作业布置 课本P29 练习 3 课本P41 习题1.4 第1题 在空间直角坐标系中,已知 , ,试求平面ABC的一个法向量. ∴ 取 ,则 ∴ 是平面 的一个法向量. 解:设平面 的一个法向量为 则 .∵ , ∴ 即 ⑴设平面的法向量为 ⑵找出(求出)平面