1.2空间向量基本定理课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.2 空间向量基本定理 第一章 空间向量与立体几何 复习回顾 1. 共线向量定理 对空间中任意两个向量， 的充要条件是存在实数，使. 用途 证明空间三点P,A,B共线 （1）； （2） = + (). 复习回顾 2. 共面向量定理 如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使得. 用途 证明空间四点P,M,A,B共面 （1）+ ； （2） = + + (). 复习回顾 3. 平面向量基本定理： 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使= . 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 猜想 类似地，任意一个空间向量能否利用任意三个不共面的向量e1,e2 ,e3来表示吗？ O P Q 探究新知 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论． 我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ A B C D A1 C1 D1 空间向量的基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间 任一向量 ,存在一个唯一的有序实数对 {x、y、z}，使 思路：作 a b c a c b A B C O p P Q 注：1、空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底； 2、零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们不是零向量； 3、一个基底指一个向量组，一个基向量指基底中 的某一个向量，二者是相关连的不同概念。 空间向量基本定理 小试牛刀 √ √ × D 课本12页例1 课本12页练习题 给我一个支点，我可以撬起地球． ——阿基米德 给我一个基底， 我还你一个空间！ 课本13页例2 A B C D M N B1 A1 C1 D1 A B C D M N B1 A1 C1 D1 课本13页例3 A B C D E F G 解：（1）设 ，则 构成空间的一个单位正交基底.所以 ， .所以 . 所以 . A B C D E F G 课本14页练习题 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使 . 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 2.已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b 构成基底的向量是(　　) A．a B．b C．a＋2b D．a＋2c 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若{eq \o(OA,\s\up15(→)),eq \o(OB,\s\up15(→)),eq \o(OC,\s\up15(→))}不能构成空间的一个基底，则O,A,B,C四点共面． (　　) (2)若{a,b,c}为空间的一个基底，则a,b,c全不是零向量． (　　) (3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底． (　　) 如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 ，用 表示 解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 如图，正方体 的棱长为1，E，F，G分别为 的中点. （1）求证： ；（2）求CE与AG所成角的余弦值. （2）因为 ， ， 所以 . 所以CE与AG所成角的余弦值为 . $$