1.1.2空间向量的数量积运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的数量积运算 第一章 空间向量与立体几何 复习回顾 1、共面向量定理及其作用 2、平面向量的数量积 如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对 使 平面向量及其线性运算 空间向量及其线性运算 推 广 平面向量的数量积运算 空间向量的数量积运算 推 广 一.两个向量的夹角 定义：已知两个非零向量 在空间任取一点O， 则∠AOB叫做向量 的夹角， 记法： 作 范围： 一.两个向量的夹角 一.两个向量的夹角 思考 1 = 思考 2 在正∆ABC中， 60° 120° 60° 口诀： 首首尾尾是夹角 首尾相接找补角 练习 1.判断 (1)在锐角∆ABC中，向量 与 的夹角等于向量 与 的夹角. ( ) (2)对于非零向量a，b，<a,b>=<a,-b>. ( ) 2.在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（ ） A √ 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 （1）a·e＝e·a＝___________. （2）a⊥b⇔__________. （3）当a，b同向时，a·b＝_________； 当a，b反向时，a·b＝___________. （4）a·a＝_______或|a|＝_____. （5）|a·b|≤_________. （6）cos θ＝_____. 性质 定义 （垂直的判断） （求向量模长） （求角度） 以上性质说明,可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题. 已知两个非零向量，则cos <>叫做的数量积，记作， 即a·b= cos < 探究新知 a c b 不能 探究新知 向量的数量积不满足消去律 不能 向量没有除法运算，因为有两种乘法：一是数量积a·b，二是向量积a×b，所以向量的除法没有意义. 探究新知 不成立 当a与c共线时，(a·b)·c＝a·(b·c)成立； 当a与c不共线时，(a·b)·c≠a·(b·c). 因此，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立. 向量的数量积不满足乘法结合律. 证明: 探究新知 回顾：在平面向量中，什么是投影？什么是投影向量？ 设两个非零向量，考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为，叫做在上的投影向量 A B A1 B1 C D M M1 O N 在空间中，向量向量投影有什么意义？ 向量直线l的投影呢？向量的投影呢？ 思考 l A A’ B B’ D' C' B' D A B C A' 例题讲解 例2 如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求： l m n g 典例分析 l m n g A B C C1 A1 B1 B 课堂练习 B D A C A B C D 空间向量的数量积 空间两个向量的夹角 定义 几何意义 运算律 性质 利用向量解决立体几何问题的应用 课堂小结 例3 如图，m,n是平面内的两条相交直线，如果m, l n,求证：l m n l 方法：线面垂直的定义（l 内的任意一条直线） 思考 （1）如何把已知的几何元素转化为向量表示？ （2）一些未知的几何元素能否用已知向量表示？ （3）结论和已经表示出来的向量或其运算有何联系？能否通过向量的运算获得结论？ （4）如何将向量运算的结果“翻译”为几何结论？ 共面向量定理 方法一：向量法 m n l 证明： 在平面内任取不与m,n重合的直线g， 在直线l,g,m,n上取向量l,g,m,n 因为m,n相交，所以m,n不平行，由共面向量定理得， 存在唯一的实数对(x, y),使g=xm+yn l·g= l · xm+ l · yn= x (l · m)+ y (l · n) ∵ m, l n ∴l · m=0, l · n=0 ∴l · g =0即l g ∴ g，即垂直于平面内的任意一条直线，l g l n m g 【用向量解决几何问题的常用方法（三部曲）】 选择恰当的向量表示问题中的几何元素 通过向量运算得出几何元素的关系 把运算结果“翻译”成相应的几何意义 方法一：几何法 m n l 证明： 假设l不垂直于平面，则l与平行，或l与斜交 情行1：l与平行 ∵ l/，过l的任意平面相交于直线g, l/ ∵ m ∴m g ∵ n ∴n ∴ m/,与已知矛盾 方法一：几何法 m n l 证明： 情行2：l与斜交 设l与交点为O， O 过O点作直线g ， 则g平面 ∵ m ∴n ∴ m/,与已知矛盾 g