第一章勾股定理专题一利用勾股定理巧解折叠问题讲义2023-2024学年北师大版八年级上册数学

勾股定理专题一：利用勾股定理巧解折叠问题 【题型归纳】 题型一：利用勾股定理解决三角形中的折叠问题 【例1】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′． （1）如图①，如果点B′和顶点A重合，求CE的长； （2）如图②，如果点B′是AC的中点，求CE的长． 【变式1-1】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是边BC上一点，若沿将△ACD翻折，点C刚好落在边上点E处，则BD等于（　　） A．2 B． C．3 D． 变式1图 变式2图 变式3图 【变式1-2】如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【变式1-3】如图的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（　　） A．7 B．8 C．11 D．14 【变式1-4】如图，在△ABC中，，把沿直线折叠，使与重合． (1)若，则的度数为 ； (2)当，△ABC的面积为时，的周长为 （用含的代数式表示）； (3)若，，求的长． 题型二：利用勾股定理解决长方形中的折叠问题 【例题2-1】如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则EF的长是（　　） A．3 B． C．5 D． 【例题2-2】如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若， (1)试说明 (2)求的长 【变式2-1】如图所示，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为（    ） A． B． C． D． 变式2-1图 变式2-2图 变式2-3图 【变式2-2】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，将矩形沿BD折叠，点A落在点E处，DE与BC交于点F，则重叠部分△BDF的面积是（　　） A．20 B．16 C．12 D．10 【变式2-3】如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF的长为 　 　． 【变式2-4】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为（　　） A．2.5 B．3 C． D．2 【变式2-5】如图，已知长方形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的长． 题型三：利用勾股定理解决正方形中的折叠问题 【例3】如图，正方形ABCD中，CD＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF． （1）求证：△ABG≌△AFG； （2）求GC的长； （3）求△FGC的面积． 【变式3-1】如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【变式3-2】如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC＝3：1，则线段CH的长是（　　） A．3 B． C．1 D．2 【变式3-3】如图，在边长为6的正方形中，E是边的中点，将沿对折至，延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)求的长． 【巩固练习】 1．如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为(　　) A．6 B．8 C．12 D．14 第1题图 第2题图 第3题图 2．如图，中， ，， ，将折叠，使点 C 与 的中点 D 重合，折痕交 于点 M，交 于点 N，则线段 的长为（    ）． A． B． C．4 D． 3．把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6．点E是边BC上一点，沿AE翻折△ABE，点B恰好落在CD边上点F处，则CE的长是 。 第4题图