23.2 & 23.3 中心对称及图案设计-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

九年级上册数学《第二十三章 旋转》 23.2 & 23.3 中心对称及图案设计 知识点一 中心对称及其相关概念 ◆中心对称的定义： 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． ★★★两个图形成中心对称须具备三个条件： ① 能找到一个对称中心； ② 旋转角为 180°； ③ 这两个图形旋转后能完全重合. 【注意】 （1）中心对称是一种特殊的旋转，其旋转角是180°； （2）中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系； （3）成中心对称的两个图形只有一个对称中心，对称中心可能在图形的外部、内部或图形上，对称点一定 对称中心两侧或与对称中心重合. 知识点二 中心对称的性质 ◆1、中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与 对称中心三点共线)； （2）中心对称的两个图形是全等图形. 【注意】 （1）成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分. （2）成中心对称的两个图形，其对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等. ◆2、确定对称中心的方法： 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点就是对称中心. 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心. ◆3、中心对称与轴对称的异同 轴对称 中心对称 1 有一条对称轴——直线 图形绕中心旋转——点 2 图形沿轴折叠（翻转180°） 图形绕中心旋转180° 3 折叠后两个图形重合 旋转后两个形重合 知识点三 作已知图形关于某一点对称的图形 ◆作图步骤： （1） 确定关键点:将各关键点（如多边形的各顶点）和对称中心连接并延长. （2） 确定对应点：在各延长线上取对应点，使对应点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等. （3） 连线：按照原图顺次连接对应点即可得到所求作的图形. 知识点四 中心对称图形 ◆1、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 判断一个图形是否是中心对称图形，必须满足： ① 一个图形；② 绕一点旋转 180°；③ 与原图形完全重合(包括图案). ◆2、中心对称图形的性质： （1）中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交是两个对应交点是对称点. （2）对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）. ◆2、中心对称与中心对称图形的区别和联系： 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在两个图形上. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心可能在两个图形的外部， 也可能在图形的内部或图形边界上. （4）对称中心在图形的内部或图形边界上. 联系 （1） 都是根据把图形旋转180°后能重合定义的.(2)两者可以相互转化，若把中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中心对称图形相 互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称. 知识点五 关于原点对称的点的坐标 ◆1、关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P'（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． ◆2、关于坐标轴对称的点的坐标特点 点 P(a，b) 关于 x 轴对称的点的坐标为 P′(a，－b)， 点 P(a，b) 关于 y 轴对称的点的坐标为 P′(－a，b). 简记为：“关于谁，谁不变，关于原点都改变”. ◆3、作关于原点对称的图形的常用步骤： (1) 写出图形顶点坐标； (2) 写出图形顶点关于原点的对称点的坐标； (3) 描点； (4) 顺次连接； (5) 下结论. 题型一 中心对称的概念和性质 【例题1】下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 解题技巧提炼 1、两个图形成中心对称须具备三个条件： ① 能找到一个对称中心；② 旋转角为 180°；③ 这两个图形旋转后能完全重合. 2、中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分(即每组对称点与对称中心三点共线)； （2）中心对称