第13章 专题七 用特殊角构造含30°角的直角三角形的三种常用技巧-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年八年级上册数学课时通(人教版)河北专版

年级上册·RJ河北专用 数 学 第十三章　轴对称 专题七　用特殊角构造含30°角的直角三角形的三种常用技巧 ⁠连线段构造含30°角的直角三角形 1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，求证：CE＝2BE. 证明：连接AE，如图所示. ∵AB＝AC，∠A＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°. ∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE， ∴∠BAE＝∠B＝30°， ∴∠EAC＝120°－30°＝90°. ∵∠C＝30°，∴CE＝2AE. ∵BE＝AE，∴CE＝2BE. 2.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝8，求CE的长. 解：连接AD，如图所示. ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B＝∠C＝30°， ∴∠DAC＝∠BAC＝60°. ∵DE⊥AC于点E，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝30°. 在Rt△ADE中，AE＝8，∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝16. 在Rt△ADC中，AD＝16，∠C＝30°， ∴AC＝2AD＝32，则CE＝AC－AE＝32－8＝24. ⁠延长两边构造含30°角的直角三角形 3.如图所示，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°.求CD的长. 解：如图所示，延长AD，BC交于点E. ∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°，AE＝2BE. 又∵∠ADC＝120°， ∴∠EDC＝180°－120°＝60°. ∴∠E＝∠EDC＝∠ECD＝60°. ∴△DCE是等边三角形. 设CD＝CE＝DE＝a，则有2（1＋a）＝4＋a，解得a＝2.∴CD的长为2. ⁠作垂线构造含30°角的直角三角形 4.如图所示，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，DC∥AB，AC平分∠BAD，∠DAB＝30°.求证：AD＝2BC. 证明：如图所示，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E. ∵DC∥AB，∠DAB＝30°， ∴∠DCA＝∠BAC，∠CDE＝∠DAB＝30°. 在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，∴CD＝2CE. 又∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA.∴AD＝CD.∴AD＝2CE. ∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠BAD， ∴BC＝CE.∴AD＝2BC. 5.如图所示，在△ABC中，BD＝DC，若AD⊥AC，∠BAD＝30°.求证：AC＝AB. 证明：如图所示，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E. ∵AD⊥AC，BE⊥AD， ∴∠CAD＝90°，∠BED＝90°. 在△ACD和△EBD中， ∴△ACD≌△EBD（AAS），∴BE＝AC. ∵∠BAD＝30°，∴BE＝AB， ∴AC＝AB. $$