第13章 专题六 构造等腰三角形基本方法-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年八年级上册数学课时通(人教版)河北专版

年级上册·RJ河北专用 数 学 第十三章　轴对称 专题六　构造等腰三角形基本方法 ⁠作平行线法 （一）角平分线＋平行线＝等腰三角形 说明：当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们可以找到等腰三角形. 如图①所示，若AD平分∠BAC，AD∥EC，则△ACE是等腰三角形；图②中AD平分∠BAC，DE∥AC，则△AED是等腰三角形；图③中AD平分∠BAC，CE∥AB，则△ACE是等腰三角形；图④中，AD平分∠BAC，EF∥AD，则△AEG是等腰三角形. 1.（河北中考改编）如图所示，点I为△ABC中∠A和∠B的平分线的交点，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　B　） A.4.5 B.4 C.3 D.2 B 2.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F.求证：AE＝AP. 证明：如图所示，过点A作AD∥EF，交BC于点D. ∵AD∥EF，EF⊥BC， ∴AD⊥BC.又AB＝AC， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵AD∥EF， ∴∠E＝∠BAD，∠EPA＝∠CAD， ∴∠E＝∠EPA，∴AE＝AP. （二）作平行线构造全等的常见图形 3.如图所示，在△ABC中，过BC的中点D作直线DF，交AB于点E，交CA的延长线于点F，且AE＝AF. 求证：BE＝CF. 证明：如图所示，过点C作CG∥AB，交FD的延长线于点G， ∴∠G＝∠2，∠3＝∠B.又∵DB＝DC， ∴△CGD≌△BED（AAS）， ∴CG＝BE. ∵AE＝AF，∴∠1＝∠F， ∵∠1＝∠2，∴∠G＝∠1＝∠F， ∴CG＝CF，∴BE＝CF. ⁠作延长线构造等腰三角形中的三线合一 说明：当题目中“三线”已出现“两线”，可通过延长或连接，构造出等腰三角形，再利用“三线合一”得出结论. 4.如图所示，△ABC的面积为1 cm2，AP垂直于∠B的平分线BP于点P，求△PBC的面积. 解：延长AP交BC于点E. ∵AP垂直于∠B的平分线BP于点P，∴BP平分∠B，BP⊥AE， ∴∠BAP＝∠BEP，∴AB＝BE， ∴AP＝PE，∴△APC和△CPE等底同高，△ABP和△EBP等底同高， ∴S△APC＝S△PCE，S△ABP＝S△EBP， ∴S△PBC＝S△EBP＋S△PCE＝S△ABC＝0.5 cm2. 5.如图所示，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BE.求证：BD＝2CE. 证明：如图所示，延长CE交BA的延长线于点F. ∵CE⊥BE，∠1＝∠2， ∴∠F＝∠BCF， BC＝BF， ∴EC＝FE＝CF，即CF＝2CE. ∵∠F＋∠2＝90°，∠F＋∠ACF＝90°， ∴∠2＝∠ACF.又AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°， ∴△BDA≌△CFA（ASA），∴BD＝CF， ∴BD＝2CE. ⁠作截线法 说明：若图形中有垂线，则把垂线看作等腰三角形底边上的高，用截取的方法构造等腰三角形的腰. 6.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＋BD＝DC.求证：∠B＝2∠C. 证明：如图所示，在DC上截取DE＝BD，连接AE. ∵AD⊥BE，ED＝BD，∴AD为BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴∠1＝∠B. ∵AB＋BD＝DC，EC＋ED＝DC，∴AB＝EC，∴AE＝EC，∴∠1＝2∠C，即∠B＝2∠C. 7.小明遇到这样一个问题：如图①所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC.求∠C的度数.小明通过探究发现，如图②所示，在CD上取一点E，使ED＝BD，根据等腰三角形“三线合一”得到DE＝BD，AB＝AE＝CE，∠B＝∠AED＝2∠C，根据三角形内角和为180°，使问题得到解决. 参考小明思考问题的方法，解答下列问题： 如图③所示，在△ABC中，过点B任作射线BI，在BI上取一点D，使∠ABD＝∠ACD，AM⊥BD于点M，且BM＝MD＋CD，探究AB与AC之间的数量关系，并证明. 解：AB＝AC.证明：如图所示， 在MB上截取MH＝MD，连接AH，AD， 作HF⊥AB于点F，作DE⊥AC于点E. ∵AM⊥DH，MH＝MD，∴AH＝AD. ∵BM＝MD＋CD＝BH＋MH，∴CD＝BH. 又∵∠DEC＝∠HFB＝90°，∠HBF＝∠DCE， ∴△BHF≌△CDE（AAS），∴HF＝DE. ∵AH＝AD， ∴Rt△AHF≌Rt△ADE（HL）， ∴∠BAH＝∠CAD. ∵∠ABH＝∠ACD，BH＝CD， ∴△ABH≌△ACD（AAS）， ∴AB＝AC. $$