第13章 13.4 课题学习 最短路径问题-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年八年级上册数学课时通(人教版)

年级上册·RJ 数 学 第十三章　轴对称 13.4　课题学习　最短路径问题 ⁠ 知识点1　“将军饮马”问题中的最短路径问题 1.（北京石景山区期末）如图所示，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，想在直线l上的某点P处修建一个水泵站向A，B两村庄供水.现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道最短的是（　D　） D 知识点2　“造桥选址”问题中的最短路径问题 2.如图所示，A，B两城市之间有一条国道，国道的宽为a，现要在国道上修建一座垂直于国道的立交桥，使通过A，B两城市路程最近，请你设计建桥的位置，并说明理论依据. 解：如图所示，过点B作BC垂直于国道， 且使BC等于国道宽a，连接AC交国道边缘于点M， 作MN∥BC，MN即为所求的立交桥的位置. 理论依据：两点之间，线段最短. ⁠ 3.下列说法不正确的是（　A　） A.三角形两边之和小于第三边 B.两点之间的所有连线中，线段最短 C.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D.利用轴对称的知识可以帮助我们解决最短路径问题 A 4.（山东滨州惠民期末）如图所示，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，∠MPN的度数为 　100°　⁠. 100°　 ⁠5.必考题 如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD＝136°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小时，求∠AMN＋∠ANM的度数. 解：如图所示，延长AB到点A'，使得BA'＝AB，延长AD到点A″， 使得DA″＝AD，连接A'A″与BC，CD分别交于点M，N. ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴A，A'关于BC对称，A，A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小. ∵BA＝BA'，MB⊥AB，∴MA＝MA'.同理NA＝NA″. ∴∠A'＝∠MAB，∠A″＝∠NAD. ∵∠AMN＝∠A'＋∠MAB＝2∠A'，∠ANM＝∠A″＋∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN＋∠ANM＝2（∠A'＋∠A″）. ∵∠BAD＝136°，∴∠A'＋∠A″＝180°－∠BAD＝44°. ∴∠AMN＋∠ANM＝2×44°＝88°. $$