第7章 专题七 巧添平行线解决三种类型问题-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年八年级上册数学课时通(北师大版)

年级上册·BS 数 学 第七章　平行线的证明 专题七　巧添平行线解决三种类型问题 ⁠添加平行线解决内凹“M”型问题 1.如图所示，点E在AB上，点G在CD上，EF⊥GF于点F，∠CGF＝150°，∠BEF＝60°.试判断AB和CD的位置关系，并说明理由. 解：AB∥CD.理由如下： 如图所示，过点F作FH∥AB， 则∠EFH＝∠BEF＝60°. 因为∠CGF＋∠FGD＝180°，∠CGF＝150°， 所以∠FGD＝30°. 又因为EF⊥GF，即∠EFG＝90°， 所以∠HFG＝90°－60°＝30°，所以∠HFG＝∠FGD， 所以HF∥CD，则AB∥CD. 2.如图所示，AB∥CD，∠A＝20°，∠C＝30°，求∠APC的度数. 解：如图所示，过点P作PE∥AB， 所以∠1＝∠A＝20°. 因为AB∥CD，所以PE∥CD， 所以∠2＝∠C＝30°， 所以∠APC＝∠1＋∠2＝20°＋30°＝50°. ⁠3.必考题小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工厂生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：AB∥CD，∠A＝40°，∠AEC＝70°，小明马上运用已学的数学知识得出了∠C的度数.请聪明的你写出小明的计算过程及结果. 解：如图所示，过点E作EF∥AB.因为AB∥CD， 所以EF∥AB∥CD， 所以∠FEA＝∠A＝40°，∠C＝∠FEC.因为∠AEC＝70°， 所以∠FEC＝∠AEC－∠FEA＝70°－40°＝30°，所以∠C＝30°. ⁠添加平行线解决外凸“M”型问题 4.如图所示，已知AB∥CD，那么∠B＋∠BED＋∠D等于多少度？请证明你的结论. 解：∠B＋∠BED＋∠D＝360°. 证明：过点E作EF∥AB，如图所示. ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF，∴∠B＋∠BEF＝180°， ∠D＋∠DEF＝180°， ∴∠B＋∠BED＋∠D＝360°. ⁠添加平行线解决外错“Z”型问题 5.如图所示，AB∥EF，BC⊥CD，∠E＝22°.求∠B和∠CDE的度数和. 解：如图所示，分别过C，D作AB的平行线 CM和DN， 因为AB∥EF，所以AB∥CM∥DN∥EF， 所以∠B＝∠BCM，∠MCD＝∠NDC，∠NDE＝∠E， 所以∠B＋∠CDE＝ ∠BCM＋∠CDN＋∠NDE＝∠BCM＋∠MCD＋∠E ＝∠BCD＋∠E. 因为BC⊥CD，所以∠BCD＝90°， 所以∠B＋∠CDE＝90°＋∠E. 又因为∠E＝22°，所以∠B＋∠CDE＝90°＋22°＝112°. 6.如图所示，若AB∥CD，则∠α＝150°，∠β＝80°，求∠γ的度数. 解：如图所示，过点E作EF∥AB. 因为∠α＝150°， 所以∠AEF＝180°－∠α＝180°－150°＝30°. 因为∠β＝80°， 所以∠CEF＝∠β－∠AEF＝80°－30°＝50°. 因为AB∥CD，EF∥AB， 所以EF∥CD，所以∠γ＝∠CEF＝50°. $$