《空间向量与立体几何》解答题专练（能力篇）

《空间向量与立体几何》解答题专练（能力篇）（原卷版） 1．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知．    (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考阶段练习）已知矩形中，，在AD上取一点E满足.现将 沿CE折起使点D移动至P点处，使得.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 3．（2022秋·江西南昌·高二南昌市八一中学校考阶段练习）在梯形中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1）.将沿AC折起到位置，使得平面平面（如图2）.    (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值； 4．（2023·全国·高二专题练习）图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由. 5．（2023春·四川广元·高二广元中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，E为棱AB的中点.    (1)证明：平面平面ABCD； (2)若，，求二面角的余弦值. 6．（2023春·江苏连云港·高二连云港高中校考期中）如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．    (1)求二面角的正弦值； (2)线段上是否存在，使得它到平面的距离为? 若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 7．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考期中）如图所示，等边所在平面与菱形所在平面相垂直，，，，    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 8．（2023春·湖南永州·高二永州市第一中学校考开学考试）如图，等腰梯形中，，沿AE把折起成四棱锥，使得. (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离. 9．（2023春·湖南永州·高二永州市第一中学校考开学考试）如图，是以为直径的圆上异于，的一点，平面平面，是边长为2的等边三角形，，是的中点． (1)求证：； (2)过直线与直线平行的平面交棱于点，线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，求的值；否则，说明理由． 10．（2022秋·重庆长寿·高二重庆市长寿中学校校考期中）如图甲，在矩形中，，E为线段的中点，沿直线折起，使得，O点为AE的中点，连接DO、OC，如图乙．    (1)求证：； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置． 11．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，在直三棱柱中. (1)证明：； (2)设M点是棱的一点且，试确定点M的位置，使得二面角的大小为？ 12．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）如图，圆锥SO，S为顶点，是底面的圆心，为底面直径，，圆锥高点P在高SO上，是圆锥SO底面的内接正三角形.    (1)若，证明:平面 (2)点P在高SO上的动点，当和平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积. 13．（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）如图，四边形为正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且，点是线段上的一点（不包括端点）． (1)证明； (2)若，且直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积． 14．（2022秋·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）如图，是以为直径的圆上异于的点，平面平面，，，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)求证：直线平面； (2)直线上是否存在点，使直线分别与平面，直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 15．（2022秋·安徽马鞍山·高二校联考期中）长方形中，，M是中点（图1），将沿折起，使得（图2），在图2中    (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存点E，使得平面与的夹角为，请说明理由． 16．（2022秋·安徽合肥·高二校考阶段练习）如图，在三棱锥中，底面，，，，，，分别是上的三等分点，是的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（2023春·福建龙岩·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，，E为的中点，平面平面．    (1)求证：； (2)若的面积为，试判断在线段上是否存在点D，使得二面角的大小为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．（2022秋·广东佛山·高二校联考期中）如图1是一个正方形和一副直角三角板（常用的文具），其中，将AD与、BC与分别重合，并将两个三角板翻起，使点与点重合于点M，得到一几何体如图2．    (1)证明：； (2)求平面MAD与平面MBC的夹角的余弦值；