《空间向量与立体几何》解答题专练（基础篇）

《空间向量与立体几何》解答题专练（基础篇）（原卷版） 1．（2022秋·安徽安庆·高二校考阶段练习）如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2. (1)求证：AB1∥平面BC1D； (2)求异面直线AB1与BC1的夹角． 2．（2022秋·江西南昌·高二南昌市八一中学校考阶段练习）正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离． 3．（2022春·云南保山·高二统考期末）如图，在四棱锥中，平面是等边三角形，.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 4．（2023·全国·高二专题练习）直三棱柱中， ，为的中点，为的中点，为的中点． (1)求证： 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成二面角的余弦值． 5．（2023秋·高二单元测试）如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点．    (1)求直线BD与平面APM所成角的正弦值； (2)求D到平面APM的距离． 6．（2023春·山东东营·高二统考期末）如图，已知六面体的面为梯形，，，，，棱平面，，，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 7．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点（不包含端点）．    (1)若为的中点，求证：平面； (2)是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由． 8．（2023春·陕西榆林·高二校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，E为的中点；点F在上，且.    (1)证明：； (2)若，，，求二面角的正弦值. 9．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）如图，在三棱台中，，平面，且为中点.    (1)证明：平面； (2)若，求此时直线和平面所成角的正弦值. 10．（2022秋·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E，F分别是AD，PB的中点． (1)证明：平面PCD． (2)求直线PA与平面CEF所成角的正弦值． 11．（2022秋·安徽马鞍山·高二校联考期中）如图，在长方体中，，，点E在棱上移动．    (1)证明：； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 12．（2021秋·广东惠州·高二校考阶段练习）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点． （1）求异面直线与所成角的大小． （2）证明：平面． 13．（2022秋·河北邯郸·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点是的中点，. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 14．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别是的中点.    (1)求证：平面平面； (2)求和平面所成角的正弦值. 15．（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，点在线段上，且.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 16．（2023春·江苏盐城·高二校考期中）如图，在四棱锥中，平面，，点是线段中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； 17．（2023春·福建泉州·高二校考期中）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点满足．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 18．（2022秋·陕西铜川·高二校考阶段练习）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．用空间向量进行以下证明和计算：      (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 19．（2020秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，，分别是，的中点，.（请用空间向量知识解答下列问题）    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求二面角的余弦值. 20．（2023春·福建龙岩·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．    (1)求证：平面PAD； (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值． 21．（2023春·广东深圳·高二校考期中）如图，在四棱锥中，平面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角的正弦值. 22．（2022秋·广东佛山·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面积为，E为PD的中点．    (1)证明：平面PAB； (2)求点A到直线CE的距离； (3)求直线CE与平面PAB间的距离．