21.2.1 配方法第1课 直接开平方法-2023-2024学年九年级数学上册随堂教学课件（人教版）

直接开平方法 21.2 解一元二次方程 | 第1课时| 第二十一章 一次二次方程 【主要内容】1.直接开平方法 2.解一元二次方程的思想——降次 3.分类讨论一元二次方程的根的情况 课堂导航 怎样解一元二次方程？ 【提示】复习一元二元方程根的定义（方程左右相等）用于验证解法的正确性。 知识回顾 定义 解(根) 一元二次方程 使方程左右两边相等的未知数的值 一般式 三特征：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 三条件：(1)整式方程 (2)一元 (3)二次 情景引入 问题：一桶油漆可刷的面积为 1500 dm2，小林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设盒子的棱长为 x dm，则一个正方体盒子的表面积为 6x2 dm2．由此可列方程 10×6x2 = 1500， 即 x2 = 25． 根据平方根的意义得 x = ±5， 即 x1 = 5，x2 = －5． ∵ 棱长不能为负值，∴ 盒子的棱长为 5 dm． 新知探究 思考：类比上例解法解下列方程,思考解一元二次方程有那些情况 (1) x2 = 12； (2) x2 = 0； (3) x2 = - 16 解：根据平方根的意义得 ∵ 负数没有平方根 根据平方根的意义 ∴ 原方程无实数解. 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法 【提示】根平方根的定义 知识要点1 直接开平方法的三种情况： (2) 当 p = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根. 一般的，对于可化为 x2 = p (I) 的方程， (1) 当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ， x2 = ； 【提示】1.方法和类型的抽象。 2.一元二次方程根的情况。 典例讲解 例1 利用直接开平方法解下列方程： (1) x2 = 6； (2) x2 - 900 = 0. 解： 直接开平方，得 解：移项，得 x2 = 900. 直接开平方，得 x = ± 30. ∴ x1 = 30，x2 = -30. (3) (x＋1)2 = 2； (4) (x − 1)2 − 4 = 0； 【提示】1.转化思想。 2.引导总结直接开平方法的步骤。 例1 利用直接开平方法解下列方程： (1) x2 = 6； (2) x2 - 900 = 0. (3) (x＋1)2 = 2； (4) (x − 1)2 − 4 = 0； 即 x1 = −1+ ，x2 = − 1 − 解：∵ x + 1 是 2 的平方根， ∴ x + 1 = 即 x1 = 3，x2 = −1. 解：移项，得 (x − 1)2 = 4. ∴ x − 1 = ±2， 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 【提示】1.降次是解法的基本思路。 2.降次联系消化的思想。 3.不同降次方程即产生不同解法。（类似不同消元方法） 知识要点2 直接开平方法三步骤： 变形：将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常 数的形式； 开方：利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程； 求解：解一元一次方程，得出方程的根． 针对练习 (2) (x − 1)2 − 16 = 0； 即 x1 = 5，x2 = −3. 解：移项，得 (x − 1)2 = 16. ∴ x − 1 = ±4， 1.利用直接开平方法解下列方程： (1) 4x 2 − 32 = 0； 解：4x 2 =32 x 2 =8 例2 利用直接开平方法解下列方程： (1) 3(x-1) 2 − 6 = 0； 3(x-1) 2 = 6 (x-1) 2 = 2 (2) x 2-4x+4 = 5； 解： 解： 课堂小结 依据 步骤 直接开方法法 (1)变形; (2)开方; (3)求解. 特征 形如：x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0) 平方根的定义 解一元二 次方程 降次 课堂练习 C. 4(x − 1)2 = 9，解方程，得 4(x − 1) =±3，x1= ，x2 = ， D. (2x + 3)2 = 25，解方程，得 2x + 3 =±5，x1=1，x2=−4 1. 下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. x2 = −2，解方程，得 x =± B. (x − 2)2 = 4，解方程，得 x − 2 = 2，x = 4 D (1) 方程 x2 = 0.25 的根是 . (2) 方程 2x