21.1 一元二次方程-2023-2024学年九年级数学上册随堂教学课件（人教版）

一元二次方程 21.1 一元二次方程 第二十一章 一次二次方程 课堂导航 什么叫做一元二次方程？ 一元二次方程与之前的方程有什么联系？ 知识回顾 相等关系 一元一次方程 方程 方程 的解 二元一次方程 一元二方程 情景导入 问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 100 cm 50cm 3600 cm2 解：设切去的正方形的边长为 x cm，根题意得： 化简，得 (100-2x)(50-2x)=3600. x2-75x+350=0. ② 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 解：设比赛组织者应邀请 x 个队参加比赛，根据题意，列方程： 化简，得 x2-x-56=0. ③ 问题3 下列方程是一元一次方程吗？你认为是什么方程？它们有什么共同特点呢？ x2-75x+350=0. x2-x-56=0. 知识要点1 一元二次方程的定义： 等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 ( a≠0) 针对练习 1.下列方程中哪些是一元二次方程？一元二次方程有什么特征？ (a,b,c是常数) 知识要点2 一元二次方程三个特征： 1.整式方程 2.一个未知数 (一元) 3.未知数的最高次数是 2 (二次) 典例讲解 例1 a 为何值时，下列方程为关于 x 的一元二次方程？ (1) ax2－x = 2x2； (2) (a－1) x |a| + 1－2x－7 = 0. 解：(1) 将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0， 当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程. 解：(2) 由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 ， 解之得：当 a = -1 时， 当 a = -1，原方程是关于 x 的一元二次方程. 例2 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2 - 3x = 5x + 10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2 - 8x - 10 = 0. 其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10. 知识要点3 一元二次方程一般式 ax2 + bx + c = 0 ( a≠0)的特征： 1.方程右边为0 2.方程左边化简 3.二次项系数一般为正整数 针对练习 将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项： （1）4x(x+2)=25 (2)(3x-2)(x+1)=8x-3 解：(1)把4x(x+2)=25 化为一般形式4x2+8x-25=0 ， 二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25． (2)把(3x-2)(x+1)=8x-3化为一般形式3x2-7x+1=0 ， 二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1． 知识要点3 一元二次方程的解(根) 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 例3 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值. 解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得 32 + 3a + a = 0. 例3 已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根， 求 2a2 + 4a + 2022 的值. 解：由题意得 课堂小结 定义 解(根) 一元二次方程 使方程左右两边相等的未知数的值 一般式 三特征：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 三条件：(1)整式方程 (2)一元 (3)二次 课堂练习 1. 下列哪些是一元二次方程？ 是 不是 是 不是 不是 是 3x + 2 = 5x - 2； x2 = 0； (x + 3)(2x - 4) = x2； 3y2 = (3y + 1)(y - 2)； x2 = x3 + x2 - 1； 3x2 = 5x - 1. 2. 填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 3. 关于 x 的方程 (k2 − 1)x2 ＋ 2(k − 1)x＋2k＋ 2＝0，