专题2.8 四点共圆（隐圆压轴五）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题2.8 四点共圆 1.四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”． 2．四点共圆的性质 (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等． (2)圆内接四边形的对角互补． (3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角． 3．四点共圆的判定 (1)用“角”判定： ①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上； ②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上； ③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上． (2)“等线段”判定： 四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点共圆． (3)用“比例线段”判定： 若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A，B，C，D四点共圆. 模型解读： 模型1：对角互补型： 若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º, 则A、B、C、D四点共圆 模型2：同侧等角型 （1）若∠A=∠C, 则A、B、C、D四点共圆 （2）手拉手(双子型)中的四点共圆 条件：△OCD∽△OAB 结论：①△OAC∽△OBD ②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB； ③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆. 模型3：直径是圆中最长的弦 1.定圆中最长的弦是直径； 2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦； 3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。 【典例1】如图，四边形ABCD是某高新区核心地块用地示意图，经测量得如下数据：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，请计算这块规划用地的最大面积． 【变式1-1】如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值． 【变式1-2】（渝北区期末）如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE为80°，则∠ADC度数为（　　） A．80° B．40° C．100° D．160° 【变式1-3】（滨湖区期中）如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（　　） A．4 B．8 C．10 D．6 【变式1-4】（2022•靖江市二模）如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为 　 　． 【变式1-5】如图，△ABC和△BCD均为直角三角形，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝2，连接AD．若∠ADB＝30°，则AC的长为 　 　． 【变式1-6】如图，在四边形ABCD中，BD＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD面积的最大值为　　． 【变式1-7】如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，则AD的最大值为 　 　． 【变式1-8】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E，F分别为AB，AC边上的点，且∠EDF＝90°，连接EF，则∠DEF的度数为　　． 【变式1-9】（武昌区模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，O为AC的中点，过O作OE⊥OF，OE、OF分别交射线AB、BC于E、F，则EF的最小值为　 　． 【变式1-10】（2022•遵义）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1） ∵∠B＝∠D ∴∠AEC+∠B＝180° ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2） ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：　 　；依据2：　 　． （2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 　　． 拓展探究： （3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE． 求证：A，D，B，E四点共圆； 原创精