第21章 二次根式复习与小结-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第21章 二次根式 华师版(2012)九年级上册数学 复习与小结 知识结构 整式 二次根式 概念 最简二次根式 类比 性质 运算 二次根式 双重非负数 乘除、加减 混合运算 分式 算术平方根 第21章 二次根式 知识要点 一. 概念 (一) 二次根式 1.形如 (a≥0)的式子叫做二次根式. 2.代数式有意义(字母的取值范围) ①二次根式被开方数不小于零； ②分式分母不为零. 第21章 二次根式 (一) 二次根式 3. 分式+二次根式 分母≠0 并且 二次根式被开数≥0 A ≥0 且 B ≠0 A >0 4. 多个二次根式 每个二次根式被开数 ≥0 x= a 解不等式组 第21章 二次根式 一. 概念 (二)最简二次根式 (1) 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. (1) 被开方数不含分母； (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 简记：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方. 第21章 二次根式 (二)最简二次根式 (2) 化成最简二次根式. (1) 被开方数是整数(式) (2) 被开方数中分数（式）或分母含根号 平方数(式)开方 分解因数(式) 分母不含根号 (分母有理化) 乘以适当数(式) (1)分母形如： (2)分母形如： (平方) (平方差) 第21章 二次根式 二. 性质 (一)二次根式双重非负数 2. 0+0模型：几个非负数之和等于0，则每个非负数等于0. 第21章 二次根式 (二)两个性质 第21章 二次根式 三. 运算 (一)二次根式的乘除 (计算) (化简) 第21章 二次根式 (二)二次根式的加减 (1) 法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. (1) 化——将非最简二次根式的二次根式化简； (2) 找——找出被开方数相同的二次根式； (3) 合——把被开方数相同的二次根式合并. (2) 步骤： 第21章 二次根式 (三)二次根式的混合 (1) 整式运算中的运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式等在二次根式中仍然适用. (2) 常用公式及变形： (2) 平方差公式：(a + b)(a - b) = a2- b2； (3) 完全平方公式：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2； (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. (1)十字相乘法：(x + a)(x + b) =x2 + (a + b)x + ab. (4) a2 + b2 =(a + b)2 - 2ab. =(a - b)2 + 2ab. 第21章 二次根式 典例讲解 例1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ √ √ √ √ √ × × × × 第21章 二次根式 解：(1) 由题意得 例2 求下列二次根式中字母 a 的取值范围： (3) ∵ (a + 3)2≥0，∴ a 为全体实数. (4) 由题意得 ∴ a≥0 且 a ≠ 1. 第21章 二次根式 总结出法则，在例题中总结步骤。 例3 若 求 的值. 解：∵ ∴ x - 1 = 0，3x + y - 1 = 0， 解得 x = 1，y = -2. 第21章 二次根式 例4.已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示, 化简． 解：由数轴可得：，，， 原式 ． 第21章 二次根式 例5 先化简，再求值： ,其中 解：原式 当 时，原式 第21章 二次根式 例6.已知，，求的值． 解：∵， ， ∴ ． 第21章 二次根式 例7.观察下列等式： ① ； ② ； ③ … 回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，直接化简： （2）计算： ． 第21章 二次根式 解：（1）= = ； （2） =+…+ =． （1）利用你观察到的规律，直接化简： （2）计算： ． 第21章 二次根式 课堂练习 1.二次根式 中，字母a的取值范围是 （　　） A. a> B. a＜ C. a≥ D. a≤ D 2.使 有意义的x的取值范围是 （　　） A.x≥3 B.x≥3且x≠4 C.x≤3 D.x<3 B 3.下列式子