1.3 证明（2） 课件 2022--2023学年浙教版数学八年级上册

1.3 证明（2） 第1章 三角形的初步知识 浙教版 八年级上册 课前复习 探索新知 进一步体验证明的意义，进一步学习证明的思考方法． 进一步学习综合法证明的方法和表述． 体验辅助线在证明中的作用． 1 2 探索新知 【探究】证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题. 已知：如图，∠BAC，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠BAC+∠B+∠C=180° 证明：如图，过点A作MN∥BC. A B C M N ∵ MN∥BC ∴∠C＝∠CAN， ∠B＝∠BAM（两直线平行，内错角相等） ∴∠BAC+∠B+∠C ＝∠BAC+∠BAM+∠CAN＝180º（平角的定义） 探索新知 【新知1】证明几何命题的一般表述格式 【注意两点】 （1）有些几何命题已经包括了相应的图形、已知及求证，那么直接写出证明的推理过程即可. （1）按题意画出图形. （2）分清条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论. （3）在“证明”中写出推理过程. （2）辅助线：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线. 探索新知 【新知2】三角形的外角 如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角． B C D A 【思考】一个三角形的外角共有几个？外角与它相邻的内角有何关系？ 【结论】（1）每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. （2）外角与它相邻的内角互补. 探索新知 【探究】三角形内角和定理的推论 B C D A （1）三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有何关系？ （2）不共顶点的三个外角有何关系？ 探索新知 【新知3】三角形内角和定理的推论 （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. （2）三角形不共顶点的三个外角的和等于360°. B C D A 例题探究 【例1】已知：如图，∠B+∠D=∠BCD. 求证：AB∥DE. 分析：如图，延长BC，交DE于点F. 根据平行线的判定定理，只要证明∠B=∠CFD, 或∠B+∠BFE=180°，就能证明AB∥DE. 证明：如图，延长BC，交DE于点F. ∵∠B+∠D=∠BCD（已知） 又∵∠BCD=∠D+∠CFD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴∠B+∠D=∠D+∠CFD（等量代换） ∴∠B=∠CFD（等式的性质） ∴AB∥DE（内错角相等，两直线平行） A B C D E F 例题探究 【例2】如图，P为△ABC内任意一点. 求证：∠BPC＝∠ABP+∠ACP+∠A． 证明：延长BP交AC于点E. E ∵∠BPC为△PCE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE. 又∵∠PEC为△ABE的外角， ∴∠PEC＝∠ABE＋∠A. ∴∠BPC＝∠ABP+∠ACP+∠A． 学以致用 【练习1】 学以致用 【练习2】如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是____________. ①④ 学以致用 【练习3】如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“蝴蝶形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　. （2）仔细观察，在图2中“蝴蝶形”的个数：　 　个. （3）图2中，当∠D＝50°，∠B＝40°时，求∠P的度数． （4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结果，不必证明）． 学以致用 【解】（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠C+∠B. （2）①线段AB、CD相交于点O，形成“蝴蝶形”； ②线段AN、CM相交于点O，形成“蝴蝶形”； ③线段AB、CP相交于点N，形成“蝴蝶形”； ④线段AB、CM相交于点O，形成“蝴蝶形”； ⑤线段AP、CD相交于点M，形成“蝴蝶形”； ⑥线段AN、CD相交于点O，形成“蝴蝶形”； （3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，① ∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB， ①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， 即2∠P＝