第三章 圆锥曲线与方程（8类压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（苏教版2019选择性必修第一册）

第三章 圆锥曲线与方程（压轴题专练） 题型一 直线与椭圆的综合问题 【例1】已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形． (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值． 思维升华 解决直线和椭圆综合问题的注意点 (1)根据条件设出合适的直线方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论． (2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单． (3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视．　　 巩固训练 1．已知点P是椭圆＋＝1上任意一点，则当点P到直线4x－5y＋40＝0的距离达到最小值时，点P的坐标为________． 2．已知椭圆C的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l的方程为y＝x＋m，是否存在实数m，使直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且AM＝AN，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 题型二　双曲线的定义及其应用 【例2】(1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若PF1－PF2＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为____________． (2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2．若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________． 思维升华 双曲线定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离． (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．　　 巩固训练 1．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且PF1＝3，则PF2＝(　 ) A．5 B．1 C．3 D．1或5 2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则AP＋AF2的最小值为(　 ) A．＋4 B．－4 C．－2 D．＋2 3．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M 与定圆F1，F2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为______________________． 题型三　直线与双曲线的位置关系 【例3】直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点． (1)求线段AB的长； (2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？ 思维升华 (1)直线与双曲线的位置关系的判定方法 直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况，其判定方法通常也是用Δ来解决． 设直线方程为Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，两方程联立消去y得mx2＋nx＋q＝0(*)形式的方程． ①若m≠0，方程(*)为关于x的一元二次方程． 当Δ＞0时，方程有两解，则直线与双曲线相交于两点； 当Δ＝0时，方程有一解，则直线与双曲线相切； 当Δ＜0时，方程无解，则直线与双曲线相离． ②若m＝0，方程(*)为关于x的一次方程x＝－，直线与双曲线相交于一点(此时直线平行于渐近线)．　　 　　 巩固训练 1．已知双曲线方程为x2－＝1，过点P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有(　 ) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 2．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1． (1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值． 题型四　根据双曲线方程研究其几何性质 【例4】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 思维升华 由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．　　 巩固训练 1．(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　 ) A．实轴长为8 　　 B．虚轴长为4 C．焦距为6 　　 D．离心率为 2．双曲线＋＝