期中专题05 椭圆、双曲线、抛物线大题综合 -【备战期中必刷真题】2023-2024学年高二数学上学期期中考试真题必刷满分训练（新高考浙江专用）

期中专题05 椭圆、双曲线、抛物线大题综合 备考秘籍 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解 2.若直线与圆雉曲线相交于，两点， 由直线与圆锥曲线联立，消元得到（） 则： 则：弦长 或 3. 处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 4. 处理定值问题的思路： 联立方程，用韦达定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化简即可. 真题训练 一、解答题 1．（2022秋·浙江绍兴·高二校考期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8．求的标准方程. 2．（2022秋·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）动点与定点的距离等于点P到直线的距离，设动点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)经过定点直线与曲线交于两点，且点M是线段AB的中点，求直线的方程． 3．（2022秋·浙江金华·高二校考期中）已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数. 4．（2022秋·浙江宁波·高二校考期中）已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：与椭圆有两个交点，求实数的取值范围. 5．（2022秋·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线垂直x轴于Q，为等腰直角三角形. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l交抛物线C于A，B两点，且F恰为的重心，求直线l的方程. 6．（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）已知椭圆，、分别为其左右焦点，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，其中点在轴上方． (1)若，求弦长； (2)若的面积为，求椭圆的方程． 7．（2022秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于两点. (1)求双曲线的方程. (2)若动直线经过双曲线的右焦点，是否存在轴上的定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由. 8．（2022秋·浙江温州·高二校联考期中）已知双曲线的渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若点Q是直线上一动点，过点Q引双曲线两条切线，切点为A，B，试探究：直线AB是否恒过定点.若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 9．（2022秋·浙江温州·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，点，，，点M的轨迹为C. (1)求C的方程： (2)设点P在直线上，过点P的两条直线分别交C于A，B两点和G，H两点，若直线AB与直线GH的斜率之和为0，证明：. 10．（2022秋·浙江·高二校联考期中）平面直角坐标系中，，，动点满足． (1)求点的轨迹方程； (2)过点作轴上的垂线，为垂足．若_________，当点运动时，求点的轨迹方程． 在① ，② 这两个条件中任选一个，补充到横线中，并求解问题． （若选择多个条件作答，则按照第一个解答计分） 11．（2022秋·浙江·高二校联考期中）已知双曲线：经过点，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求的长度． 12．（2022秋·浙江·高二校联考期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线（异于轴）交椭圆于，两点，直线与交于点，直线与交于点．记直线和的斜率分别为，，求证：为定值． 13．（2022秋·浙江温州·高二校联考期中）如图，是椭圆的两个顶点，，直线的斜率为是椭圆长轴上的一个动点，设点. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与轴分别交于点，与椭圆相交于，探究的面积与的面积的关系；并且证明. 14．（2022秋·浙江·高二校联考期中）如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁