专题2.5 二次函数与线段最值面积最值综合应用（四大题型）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题2.5 二次函数与线段最值/面积最值综合应用（四大题型） 重难点题型归纳 【题型1 线段差最大问题】 【题型2 线段和最小】 【题型3 周长最值问题】 【题型4 求面积最值】 【题型1 线段差最大问题】 【典例1】（2023•汝南县一模）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），其对称轴为x＝2． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限． ①当△OAB的面积为15时，求点B的坐标； ②在①的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB取得最大值时，求点P的坐标． 【变式1-1】（秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？ 【变式1-2】（连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P． （1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式； （2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标； 【题型2 线段和最小】 【典例2】（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值； 【变式2-1】（2023•河南三模）如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，连接AC，点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x＝1． （1）求抛物线的表达式和顶点坐标； （2）在直线x＝1上找一点P，使PA+PC的和最小，并求出点P的坐标； ​ 【变式2-2】（2022秋•常德期末）如图，二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C，顶点为D． （1）求二次函数的解析式； （2）点P是抛物线的对称轴上一个动点，连接BP，CP，当BP+CP的长度最小时，求出点P的坐标； 【变式2-3】（2023•中宁县二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）点M（a，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求a的值． 【变式2-4】（2023•太康县模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交y轴于点C，交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，作直线BC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PC+PA的值最小，求点P的坐标； 【题型3 周长最值问题】 【典例3】（2023•张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求△AOD周长的最小值； 【变式3-1】（2023•盘锦三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值； ​ 【变式3-2】（2023春•民乐县校级月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是AC上方抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴有一点Q，使△QBC的周长最小，求Q的坐标； 【变式3-3】（2022•齐河县模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【题型4 求面积最值】 【典例4】（2023•利津县一模）综合与实践 如图，抛物线y＝2x2﹣4x﹣6与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一动点． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）如图2，当点D在第四象限时，连接BD，CD和BC，得到△BCD，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标； 【变式4-1】（2022秋•金华期末）已知抛物