2024届高考数学一轮复习第八章《平面解析几何》专项突破五 解析几何-第4课时 圆锥曲线中的结构不良型问题

专项突破五 解析几何 第4课时 圆锥曲线中的结构不良型问题 题型一 条件选择型 例1 （2023山东济宁模拟）过原点 <m></m> 的直线与抛物线 <m></m> 交于点 <m></m> ， 线段 <m></m> 的中点为 <m></m> ，又点 <m></m> ， <m></m> .在下面给出的三个条件中任选一 个填在横线处，并解答下列问题： ① <m></m> ；② <m></m> ；③ <m></m> 的面积为 <m></m> . （1） 已知__________，求抛物线 <m></m> 的方程； [解析] 由题意知直线 <m></m> 的斜率存在且不为0，所以设直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ， 由 <m></m> 得 <m></m> 或 <m></m> 即 <m></m> ， ∴线段 <m></m> 的中点 <m></m> . <m></m> ，∴直线 <m></m> 的斜率存在， 则 <m></m> ， <m></m> ，解得 <m></m> ， ∴直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ， <m></m> . 若选①，不妨令 <m></m> ，由 <m></m> ，得 <m></m> ， 解得 <m></m> （负值舍去）， ∴抛物线 <m></m> 的方程为 <m></m> . 若选②， <m></m> , <m></m> ， ∴点 <m></m> 到直线 <m></m> 的距离为 <m></m> ， 即 <m></m> ， 解得 <m></m> （负值舍去）， ∴抛物线 <m></m> 的方程为 <m></m> . 若选③，不妨令 <m></m> ， <m></m> ， 点 <m></m> 到直线 <m></m> 的距离 <m></m> ， <m></m> ，解得 <m></m> （负值舍去）， ∴抛物线 <m></m> 的方程为 <m></m> . （2） 已知点 <m></m> ，设 <m></m> ， <m></m> 是 <m></m> 上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线 <m></m> ， <m></m> 与 <m></m> 轴分别交于 <m></m> ， <m></m> 两点，线段 <m></m> 的垂直平分线经过点 <m></m> .证明：直线 <m></m> 的斜 率为定值. 证明： <m></m> ，且 <m></m> , <m></m> , ∴点 <m></m> 在抛物线 <m></m> 上. <m></m> ， <m></m> 是 <m></m> 上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线 <m></m> ， <m></m> 与 <m></m> 轴分别交于 <m></m> ， <m></m> 两点， ∴直线 <m></m> ， <m></m> 的斜率都存在，且都不为0，分别设为 <m></m> 、 <m></m> ，则 <m></m> ， 直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ，即 <m></m> ， 当 <m></m> 时， <m></m> ，即 <m></m> . 同理可得 <m></m> ， ∵线段 <m></m> 的垂直平分线经过点 <m></m> ， <m></m> ，即 <m></m> . 由 <m></m> 得 <m></m> . 设 <m></m> ， 则 <m></m> , <m></m> 是 <m></m> 的根，由根与系数的关系 得， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， 同理可得 <m></m> . <m></m> ， 所以直线 <m></m> 的斜率为定值 <m></m> . 方法感悟 条件选择型结构不良问题主要表现在具体情境缺乏足够的资源，材料不全或参数不完整，解决问题时相应的知识准备不充分等.需要根据认知需求选择合适的条件将题目补充完整，结合题型本质解题探究.其解题流程可概括如下， 迁移应用 1. （2023江苏徐州高三期末）已知椭圆 <m></m> 的左、右焦点分别为 <m></m> ， <m></m> ，上、下顶点分别为 <m></m> ， <m></m> ，点 <m></m> 的坐标为 <m></m> ，在下列两个条件中任选一个：①离心率 <m></m> ；②四边形 <m></m> 的面积为4，解答下列问题. （1） 求椭圆 <m></m> 的方程； [解析] 由上顶点 <m></m> ，得 <m></m> ， 选①：由 <m></m> ，且 <m></m> ，可得 <m></m> ， 所以椭圆 <m></m> 的方程为 <m></m> . 选②：由题得， <m></m> ， 即 <m></m> ， 又 <m></m> ，所以 <m></m> ，故 <m></m> ， 所以椭