2024届高考数学一轮复习第八章《平面解析几何》专项突破五 解析几何-第3课时 圆锥曲线中的证明与探索性问题

专项突破五 解析几何 第3课时 圆锥曲线中的证明与探索性问题 题型一 证明问题 例1 （2022山东济南历城二中高三模拟）已知抛物线 <m></m> 上的点 <m></m> 到坐标原点的距离等于该点到准线的距离. （1） 求抛物线 <m></m> 的标准方程； [解析] 因为点 <m></m> 到坐标原点的距离等于该点到准线的距离， 所以点 <m></m> 到坐标原点的距离等于该点到焦点 <m></m> 的距离， 所以 <m></m> ，解得 <m></m> ，所以抛物线 <m></m> 的标准方程为 <m></m> . （2） 过抛物线 <m></m> 上一点 <m></m> 作圆 <m></m> 的两条斜率都存在的切线，分 别与抛物线 <m></m> 交于异于点 <m></m> 的 <m></m> ， <m></m> 两点.证明：直线 <m></m> 与圆 <m></m> 相切. 证明：因为圆 <m></m> ，所以圆 <m></m> 的圆心坐标为 <m></m> ，半径 <m></m> ， 设 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， 则直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ， 即 <m></m> ， 因为直线 <m></m> 与圆 <m></m> 相切， 所以 <m></m> ， 整理得 <m></m> ， 同理可得 <m></m> ， 所以 <m></m> ， <m></m> 是关于 <m></m> 的方程 <m></m> 的两根， 所以 <m></m> ， <m></m> ， 又因为直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ，所以圆 <m></m> 的圆心 <m></m> 到 直线 <m></m> 的距离 <m></m> ，所以直线 <m></m>与 圆 <m></m> 相切. 方法感悟 圆锥曲线中的证明问题涉及的范围比较广，但无论证明什么，其常用方法都为直接法和转化法.对于转化法，先是对已知条件进行化简，根据化简后的情况，将证明的问题转化为另一问题. 迁移应用 1. （2022湖南张家界高三期末）已知椭圆 <m></m> 的左、右顶点 分别为 <m></m> ， <m></m> ，右焦点为 <m></m> ，点 <m></m> 在椭圆 <m></m> 上. （1） 求椭圆 <m></m> 的标准方程； [解析] 由题知， <m></m> ，又点 <m></m> 在椭圆 <m></m> 上， <m></m> ，解得 <m></m> ， ∴椭圆 <m></m> 的标准方程为 <m></m> . （2） <m></m> 为椭圆上不与 <m></m> , <m></m> 重合的任意一点，直线 <m></m> , <m></m> 分别与直线 <m></m> 相交 于点 <m></m> , <m></m> ，求证： <m></m> . 证明：由（1）知 <m></m> ， 设 <m></m> ，则 <m></m> ， 直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ， 令 <m></m> ，得 <m></m> ， 即 <m></m> ， 直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ， 令 <m></m> ，得 <m></m> ， 即 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，即 <m></m> . 题型二 探索性问题 例2 （2022山西二模）已知双曲线 <m></m> 经过点 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 中的3个点. （1） 求双曲线 <m></m> 的方程； [解析] 由于 <m></m> , <m></m> 关于 <m></m> 轴对称，所以 <m></m> , <m></m> 要么都在双曲线 <m></m> 上，要么都不在 双曲线 <m></m> 上.易知点 <m></m> , <m></m> 不可能都在双曲线 <m></m> 上，因为双曲线 <m></m> 经过3个点，所以 <m></m> , <m></m> 都在双曲线 <m></m> 上. 将 <m></m> 的坐标代入 <m></m> 得 <m></m> ， 由 <m></m> , <m></m> 都在双曲线 <m></m> 上可知 <m></m> ， <m></m> 都不在双曲线 <m></m> 上， 所以点 <m></m> 在双曲线 <m></m> 上，故 <m></m> ，结合 <m></m> 可得 <m></m> ， 所以双曲线 <m></m> 的方程为 <m></m> . （2） 已知点 <m></m> ， <m></m> 是双曲线 <m></m> 上与其顶点不重合的两个动点，过点 <m></m>