2024届高考数学一轮复习第八章《平面解析几何》专项突破五 解析几何-第2课时 圆锥曲线中的定值、定点与定线问题

专项突破五 解析几何 第2课时 圆锥曲线中的定值、定点与定线问题 题型一 定值问题 例1 （2021新高考Ⅰ，21，12分）在平面直角坐标系 <m></m> 中，已知点 <m></m> ， <m></m> ，点 <m></m> 满足 <m></m> .记 <m></m> 的轨迹为 <m></m> . （1） 求 <m></m> 的方程； [解析] 由题意知 <m></m> ，因为 <m></m> ，所以结合双曲线定义知，点 <m></m> 的轨迹 <m></m> 是以 <m></m> 、 <m></m> 为焦点的双曲线的右支. 设其方程为 <m></m> ，则 <m></m> ， <m></m> ， 解得 <m></m> ， <m></m> ， 则 <m></m> ， 所以 <m></m> 的轨迹 <m></m> 的方程为 <m></m> . （2） 设点 <m></m> 在直线 <m></m> 上，过 <m></m> 的两条直线分别交 <m></m> 于 <m></m> ， <m></m> 两点和 <m></m> ， <m></m> 两 点，且 <m></m> ，求直线 <m></m> 的斜率与直线 <m></m> 的斜率之和. [解析] 如图，设 <m></m> ，直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ， 由 <m></m> 得 <m> </m> ， 设 <m></m> ， <m></m> ， 则 <m></m> ， <m></m> ， 则 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> <m></m> , 设直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ， 同理得 <m></m> ， 因为 <m></m> ， 所以 <m></m> ， 所以 <m></m> ，即 <m></m> ，由题意知 <m></m> ，所以 <m></m> ，即直线 <m></m> 的斜率与直线 <m></m> 的斜率之和为0. 方法感悟 圆锥曲线中定值问题的两大解法 （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）变量法的解题流程： 迁移应用 1. （2022河南二模）已知点 <m></m> ，直线 <m></m> ， <m></m> 为曲线 <m></m> 上的任意一点， 且 <m></m> 是 <m></m> 到 <m></m> 的距离的 <m></m> . （1） 求曲线 <m></m> 的方程； [解析] 设 <m></m> ，由已知得 <m></m> ，整理得 <m></m> ，故曲线 <m></m> 的方程为 <m></m> . （2） 若经过点 <m></m> 且斜率为 <m></m> 的直线交曲线 <m></m> 于点 <m></m> ， <m></m> ，线段 <m></m> 的垂 直平分线交 <m></m> 轴于点 <m></m> ，求证： <m></m> 为定值. 证明：由（1）得，经过点 <m></m> 且斜率为 <m></m> 的直线方程为 <m></m> , 联立得 <m></m> 消去 <m></m> 整理得 <m></m> , <m></m> 恒成立, 设 <m></m> , <m></m> ,则 <m></m> , <m></m> ， 设线段 <m></m> 的中点为 <m></m> ,则 <m></m> ， <m></m> ， 易知线段 <m></m> 的中垂线的斜率为 <m></m> ， ∴线段 <m></m> 的中垂线的方程为 <m></m> , 令 <m></m> ,得 <m></m> ， 即 <m></m> ， <m></m> , <m></m> （为定值）. 题型二 定点与定线问题 例2 （2022全国乙，20，12分）已知椭圆 <m></m> 的中心为坐标原点，对称轴为 <m></m> 轴、 <m></m> 轴，且过 <m></m> ， <m></m> 两点. （1） 求 <m></m> 的方程； [解析] 设椭圆 <m></m> 的方程为 <m></m> ，由椭圆 <m></m> 过 <m></m> , <m></m> ， 得 <m></m> 解得 <m></m> ， <m></m> ，所以 <m></m> 的方程为 <m></m> . （2） 设过点 <m></m> 的直线交 <m></m> 于 <m></m> ， <m></m> 两点，过 <m></m> 且平行于 <m></m> 轴的直线与线 段 <m></m> 交于点 <m></m> ，点 <m></m> 满足 <m></m> .证明：直线 <m></m> 过定点. 证明：易得直线 <m></m> 的方程为 <m></m> . ①若过点 <m></m> 的直线 <m></m> 的斜