2024届高考数学一轮复习第八章《平面解析几何》专项突破五 解析几何-第1课时 圆锥曲线中的范围与最值问题

专项突破五 解析几何 第1课时 圆锥曲线中的范围与最值问题 圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，是历年高考的重点、热点，试题多以圆锥曲线为载体，考查圆锥曲线方程的求解、直线与圆锥曲线的位置关系等，高考中圆锥曲线常涉及的问题主要有：（1）范围与最值问题；（2）定值、定点与定线问题；（3）证明与探索性问题；（4）结构不良型开放性问题等. 题型一 范围问题 例1 （2022江苏模拟）如图，已知椭圆 <m></m> 和抛物线 <m></m> ，斜率为正的直 线 <m></m> 与 <m></m> 轴及椭圆 <m></m> 依次交于 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 三点，且线 段 <m></m> 的中点 <m></m> 在抛物线 <m></m> 上.求点 <m></m> 的纵坐标的取 值范围. [解析] 由题意可设直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ， 则 <m></m> ， 联立得 <m></m> 可得 <m></m> ， 则 <m></m> ，可得 <m></m> ，① 设点 <m></m> ， <m></m> ，由根与系数的关系可得 <m></m> ， <m></m> ， 设点 <m></m> ，则 <m></m> ， <m></m> ， 将点 <m></m> 的坐标代入抛物线 <m></m> 的方程得 <m></m> ， 则 <m></m> ，代入①可得 <m></m> ，可得 <m></m> ，解得 <m></m> ， 所以 <m></m> .因此，点 <m></m> 的纵坐标的取值范围是 <m></m> . 方法感悟 求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.常用的解题方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 迁移应用 1. （2022湖南模拟）已知双曲线 <m></m> 过点 <m></m> ，且该双 曲线的虚轴端点与两顶点 <m></m> , <m></m> 的张角为 <m></m> . （1） 求双曲线 <m></m> 的方程； [解析] 由已知得 <m></m> ∴ <m></m> ∴双曲线 <m></m> . （2） 过点 <m></m> 的直线 <m></m> 与双曲线 <m></m> 左支相交于点 <m></m> , <m></m> ，直线 <m></m> , <m></m> 与 <m></m> 轴 相交于 <m></m> , <m></m> 两点，求 <m></m> 的取值范围. [解析] 设直线 <m></m> 的方程为 <m></m> , <m></m> , <m></m> ， 则直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ，直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ， 可得 <m></m> ， <m></m> . 联立得 <m></m> 消去 <m></m> 整理得 <m></m> . 则 <m></m> 可得 <m></m> ， <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> . 又 <m></m> ， 所以 <m></m> 的取值范围是 <m></m> . 题型二 最值问题 例2 （2022浙江，21，15分）如图,已知椭圆 <m></m> .设 <m></m> , <m></m> 是椭圆上异于 <m></m> 的两点,且点 <m></m> 在线段 <m></m> 上,直线 <m></m> , <m></m> 分别交直线 <m></m> 于 <m></m> , <m></m> 两点. （1） 求点 <m></m> 到椭圆上点的距离的最大值; [解析] 设 <m></m> 是椭圆上任意一点,又 <m></m> , 则 <m></m> ，当且仅当 <m></m> 时取等号，故 <m></m> 的最大值是 <m></m> ，即点 <m></m> 到椭圆上点的距离的最大值为 <m></m> . （2） 求 <m></m> 的最小值. [解析] 易知直线 <m></m> 的斜率存在，设直线 <m></m> , <m></m> , <m></m> ，将 直线 <m></m> 的方程与椭圆方程 <m></m> 联立得, <m></m> , 则 <m></m> 因为直线 <m></m> 与直线 <m></m> 交于 <m></m> , 所以 <m></m> ,同理可得, <m></m> ， 则 <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> ， 当且仅当 <m></m> 时取等号，故 <m></m> 的最小值为 <m></m> . 例3 斜率为