2024届高考数学一轮复习第八章《平面解析几何》第八节 直线与圆锥曲线的位置关系-第2课时 直线与双曲线、抛物线的位置关系

第八节 直线与圆锥曲线的位置关系 第2课时 直线与双曲线、抛物线的位置关系 〔课前自测〕 1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） 若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线必相切.( ) × （2） “直线 <m></m> 与双曲线 <m></m> 相切”的充要条件是“直线 <m></m> 与双曲线 <m></m> 只有一个公共点”. ( ) × （3） “直线 <m></m> 与双曲线 <m></m> 的渐近线平行”的必要条件是“直线 <m></m> 与双曲线 <m></m> 只有一个 公共点”.( ) × （4） 过点 <m></m> 与抛物线 <m></m> 只有一个公共点的直线有3条.( ) √ 2024 高考一轮复习用书 2. 过点 <m></m> 作与双曲线 <m></m> 仅有一个公共点的直线，这样的直线有( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 D [解析] 结合图形（图略）分析可知，满足题意的直线共有4条，分别是过点 <m></m> 且平行于渐近线的两条直线以及过点 <m></m> 且与双曲线相切的两条直线. 2024 高考一轮复习用书 3. （2022重庆第八中学高三调研）已知双曲线 <m></m> ，若对任意实 数 <m></m> ，直线 <m></m> 与 <m></m> 至多有一个交点，则 <m></m> 的离心率为( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> B [解析] 依题意可知直线 <m></m> 与双曲线 <m></m> 的渐近线 <m></m> 平行或重 合，则 <m></m> ， 即 <m></m> ，则 <m></m> ，从而 <m></m> ，所以 <m></m> . 故选B. 2024 高考一轮复习用书 4. （2022吉林长春期中）设抛物线 <m></m> 的准线与 <m></m> 轴交于点 <m></m> ，若过点 <m></m> 的 直线 <m></m> 与抛物线有公共点，则直线 <m></m> 的斜率的取值范围是_______. <m></m> [解析] 易知 <m></m> ，当直线 <m></m> 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线 <m></m> 的方程 为 <m></m> ，联立 <m></m> 整理得 <m></m> ， 由 <m></m> ， 解得 <m></m> . 2024 高考一轮复习用书 关键能力·突破 2024 高考一轮复习用书 考点一 直线与双曲线的位置关系 例1 （1） （2023河北廊坊二模）已知倾斜角为 <m></m> 的直线与双曲线 <m></m> 相交于 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> 是弦 <m></m> 的中点，则双曲 线的离心率为( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> D 2024 高考一轮复习用书 [解析] 因为倾斜角为 <m></m> 的直线与双曲线 <m></m> 相交于 <m></m> , <m></m> 两点， 所以直线的斜率 <m></m> .设 <m></m> , <m></m> ,则 <m></m> ①， <m></m> ②. 由①-②得 <m></m> ， 则 <m></m> . 因为 <m></m> 是弦 <m></m> 的中点，所以 <m></m> ， <m></m> . 因为直线的斜率为1， 所以 <m></m> ，即 <m></m> . 所以 <m></m> ，即 <m></m> .故选D. 2024 高考一轮复习用书 （2） （2022山东青岛莱西高三期末）多选题 已知双曲线 <m></m> ，过其右 焦点 <m></m> 的直线 <m></m> 与双曲线交于 <m></m> ， <m></m> 两个不同的点，则( ) BD A. <m></m> 的最小值为 <m></m> B. 以 <m></m> 为焦点的抛物线的标准方程为 <m></m> C. 满足 <m></m> 的直线有3条 D. 若 <m></m> ， <m></m> 同在双曲线的右支上，则直线 <m></m> 的斜率 <m></m> 2024 高考一轮复习用书 [解析] 当直线 <m></m> 的斜率为0时， <m></m> ， <m></m> 两点分别为双曲线的顶点， 则 <m></m> ，又 <m></m> ，故A不正确. 易知 <m></m> ,则以 <m></m> 为焦点的抛物线的标准方程为 <m></m> ，故 B正确. 当 <m></m> ， <m></m>