2024届高考数学一轮复习第八章《平面解析几何》第八节 直线与圆锥曲线的位置关系-第1课时 直线与椭圆的位置关系

第八节 直线与圆锥曲线的位置关系 第1课时 直线与椭圆的位置关系 课标要求 1.会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系；能够根据位置关系求所含参数的值（或范围）. 2.会利用根与系数的关系，研究弦长、中点弦、垂直关系等几何关系. 3.理解“设而不求”的思想，解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的综合应用. 必备知识·整合 〔知识梳理〕 1.直线与圆锥曲线的位置关系 （1）从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交. ①直线与椭圆有两个公共点 <m></m> 相交；直线与椭圆有一个公共点 <m></m> 相切；直线与椭 圆没有公共点 <m></m> 相离. ②直线与双曲线有两个公共点 <m></m> 相交. 当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线 与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行. 直线与双曲线没有公共点 <m></m> 相离. ③直线与抛物线有两个公共点 <m></m> 相交. 当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 直线与抛物线没有公共点 <m></m> 相离. （2）从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组的解的个 数确定位置关系. 设直线 <m></m> 的方程与圆锥曲线方程联立得到 <m></m> . ①若 <m></m> ，则当圆锥曲线是双曲线时，直线 <m></m> 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲 线是抛物线时，直线 <m></m> 与抛物线的对称轴平行或重合. ②若 <m></m> ，则 <m></m> ， <m></m> 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点. <m></m> 时，直线和圆锥曲线相切于一点. <m></m> 时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离. 2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设斜率为 <m></m> 的直线 <m></m> 与圆锥曲线相交于 <m></m> ， <m></m> 两个不同的点，则 <m></m> . <m></m> 或 <m></m> 提 醒 解决直线与椭圆、双曲线的位置关系问题的规律：联立方程求交点，根与系数的 关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘. 〔课前自测〕 1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） 过椭圆外一点只能作一条直线与椭圆相切.( ) × （2） 直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 不一定相交.( ) × （3） 过点 <m></m> 的直线有且仅有一条与椭圆 <m></m> 相切.( ) √ （4） “直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 相切”的充要条件是“直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 只有一个公共点”.( ) √ 2. （新教材改编题）直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 的位置关系为( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 A [解析] 由题意得直线 <m></m> 过定点 <m></m> ，而点 <m></m> 在椭圆 <m></m> 的内部，所以直线与椭圆相交.故选A. 3. 已知椭圆 <m></m> 的左、右焦点分别为 <m></m> ， <m></m> ，过 <m></m> 且斜率为1的直线 <m></m> 交椭 圆 <m></m> 于 <m></m> ， <m></m> 两点，则 <m></m> ( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> A [解析] 易知直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ，设 <m></m> , <m></m> ，联立 <m></m> 得 <m></m> ， 则 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> . 故选A. 4. （2023河北邯郸模拟）多选题 已知直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> ，则 ( ) A. 若 <m></m> 与 <m></m> 至少有一个公共点，则 <m></m> B. 若 <m></m> 与 <m></m> 有且仅有两个公共点，则 <m></m> C. 若 <m></m> ，则 <m></m> 上到 <m></m> 的距离为5的点只有1个 D. 若 <m></m> ，则 <m></m> 上到 <m></m> 的距离为1的点只有3个 BCD [解析] 联立 <m></m> 得 <m></m> ，则 <m></m> . 令 <m></m> ，则 <m></m> ，A错误； 令 <m></m> ，则 <m></m> ，B正确； 令 <m></m> 与 <m></m> 相切，则