2024届高考数学一轮复习第八章《平面解析几何》第五节 椭圆

第八章 平面解析几何 第五节 椭圆 课标要求 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 必备知识·整合 〔知识梳理〕 1.椭圆的定义 （1）定义：平面内与两个定点 <m></m> ， <m></m> 的距离的和等于______（大于 <m></m> ）的点 的轨迹. （2）焦点：两个定点 <m></m> ， <m></m> . （3）焦距：两焦点间的距离 <m></m> ； 半焦距：焦距的一半. 常数 2.椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 图形 标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 __________________ __________________ 半轴长 离心率 <m></m> ， <m></m> <m></m> ， <m></m> <m></m> <m></m> 续表 提 醒 1.集合 <m></m> ， <m></m> ，其中 <m></m> , <m></m> ，且 <m></m> , <m></m> 为常 数. （1）若 <m></m> ，则集合 <m></m> 表示椭圆； （2）若 <m></m> ，则集合 <m></m> 表示线段； （3）若 <m></m> ，则集合 <m></m> 为空集. 2.焦点在 <m></m> 轴上 <m></m> 标准方程中含 <m></m> 项的分母较大；焦点在 <m></m> 轴上 <m></m> 标准方程中含 <m></m> 项的分母较大. 知识拓展 1.焦点三角形：椭圆上异于长轴端点的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.在以椭圆 <m></m> 上一点 <m></m> 和焦点 <m></m> , <m></m> 为顶点的 <m></m> 中,若 <m></m> ,则 <m></m> , <m></m> （焦半径公式, <m></m> 为椭圆的离心率）, <m></m> ; （2）焦半径最大值和最小值分别为 <m></m> ， <m></m> ； <m></m> ; <m></m> ,当 <m></m> ,即 <m></m> 为短轴端点时, <m></m> 取最大值,最大值为 <m></m> ; （5）焦点三角形的周长为 <m></m> . 2.焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，通径长为 <m></m> . 3. <m></m> 为椭圆 <m></m> 的弦， <m></m> ， <m></m> ，弦中点 <m></m> ， 则 （1）弦长 <m></m> ； （2）直线 <m></m> 的斜率 <m></m> . 〔课前自测〕 1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） 平面内与两个定点 <m></m> ， <m></m> 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) × （2） 椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.( ) √ （3） 椭圆上一点 <m></m> 与两焦点 <m></m> ， <m></m> 构成的 <m></m> 的周长为 <m></m> （其中 <m></m> 为椭圆的长半轴长， <m></m> 为椭圆的半焦距）.( ) √ （4） <m></m> 与 <m></m> 的焦点相同.( ) × 2. 易错题 已知 <m></m> 、 <m></m> 是定点, <m></m> .若动点 <m></m> 满足 <m></m> ,则动 点 <m></m> 的轨迹是( ) A. 直线 B. 线段 C. 圆 D. 椭圆 B 易错提醒 易忽视椭圆定义中的 <m></m> 这一条件而误选D. 3. 若椭圆 <m></m> 的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C [解析] 依题意可知 <m></m> ， 所以 <m></m> ， 所以椭圆的离心率 <m></m> . 4. （2021湖南长沙长郡中学期末）“ <m></m> ”是“方程 <m></m> 表示焦点 在 <m></m> 轴上的椭圆”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 B [解析] 若方程 <m></m> 表示焦点在 <m></m> 轴上的椭圆，则 <m></m> 解得 <m></m>