1.1 空间向量及其运算-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第一章 空间向量与立体几何 学 学 习 目 标 1. 了解空间向量、 向量的模、 零向量、 相反向量、 相等向量、 共面向量等概念 . 2. 会用平行四边形法则、 三角形法则作 出向量的和与差， 掌握向量加法、 数乘向量 运算的意义及运算律 . 3. 掌握两个向量数量积的概念、 性质及 运算律 . 要 点 精 析 要点 1 空间向量的概念 （ 1 ） 定义： 空间中既有大小又有方向的 量称为空间向量 . （ 2 ） 模 （或长度）： 向量的大小 . （ 3 ） 表示方法： ① 几何表示法： 可以用 有向线段来直观地表示向量， 如始点为 A 终 点为 B 的向量， 记为 A A" B ， 模为 |A A" B | ； ② 字母 表示法： 可以用字母 a ， b ， c 表示， 模为 |a| ， |b| ， |c|. （ 4 ） 零向量： 始点和终点相同的向量称 为零向量， 记作 0. （ 5 ） 单位向量： 模等于 1 的向量称为单 位向量 . （ 6 ） 相等向量： 大小相等、 方向相同的 向量称为相等向量 . （ 7 ） 相反向量： 与向量 a 长度相等而方 向相反的向量， 称为 a 的相反向量， 记为 -a. A A" B 的相反向量为 B A" A . （ 8 ） 平行向量： 方向相同或者相反的两 个非零向量互相平行， 此时表示这两个非零 向量的有向线段所在的直线平行或重合 . 通 常规定零向量与任意向量平行 . （ 9 ） 共面向量： 一般地， 空间中的多个 向量， 如果表示它们的有向线段通过平移 后， 都能在同一平面内， 则称这些向量共面 . 思考 空间中任意两个向量是否一定 能够平移到同一个平面内？ 例 1 下列命题中， 假命题是 （ ） A. 同平面向量一样， 任意两个空间向 量都不能比较大小 B. 两个相等的向量， 若起点相同， 则终 点也相同 C. 只有零向量的模等于 0 D. 共线的单位向量都相等 解析： 向量是有向线段， 不能比较大 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其运算 1 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 小， 故 A 为真命题； 两向量相等， 则方向相 同， 模长相等， 起点相同， 则终点也相同， 故 B 为真命题； 模为 0 的向量为零向量， 故 C 为真命题； 共线的单位向量是相等向量或 相反向量， 故 D 为假命题 . 故选 D. 例 2 如图 1-1-1 所示， 以长方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的 八个顶点中的两点为始点和 终点的向量中： （ 1 ） 试写出与 A A" B 是相等向量的所有向量； （ 2 ） 试写出 AA 1 A" 的相反向量； （ 3 ） 若 AB=AD=2 ， AA 1 =1 ， 求向量 AC 1 A" 的模 . 解： （ 1 ） 与向量 A A" B 是相等向量的 （除 它自身之外） 有 A 1 B 1 A" ， D A" C 及 D 1 C 1 A" . （ 2 ） 向量 AA 1 A" 的相反向量为 A 1 A" A ， B 1 A" B ， C 1 A" C ， D 1 A" D . （ 3 ） |AC 1 A" |= |A A" B | 2 +|A A" D | 2 +|AA 1 A" | 2 姨 = 2 2 +2 2 +1 2 姨 = 9 姨 =3. 反思感悟 两个向量的模相等， 则它们的长度相等， 但方向不确定， 即两个向量 （非零向量） 的 模相等是两个向量相等的必要不充分条件 . 变式训练 1 如图 1-1-2 ， 在平行六 面体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， 有 下列四对 向 量 ： ① A A" B 与 C 1 D 1 A" ； ② AC 1 A" 与 BD 1 A" ； ③ AD 1 A" 与 C 1 A" B ； ④A 1 A" D 与 B 1 A" C . 其中互为相反向 量的有 n 对， 则 n 等于 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 要点 2 空间向量的线性运算 （ 1 ） 三角形法则： 一般地， 空间中给定 两个向量 a ， b ， 在该空间中任取一点 A ， 作 A A" B =a ， B A" C =b ， 再作向量 A A" C ， 则向量 A A" C 称 为向量 a 与 b 的和 （或和向量） . （ 2 ） 平行四边形法则： 已知不共线的向 量 a ， b ， 作 A A" B =a ， A A" D =b ， 以向量 A A" B ， A A" D 为邻边作平行四边形 ABCD ， 则对角线上的 向量 A A" C 为向量 a ， b 的和向量 . （ 3 ） 多边形法则： 已知 n 个向量， 依次 把