2.7 抛物线及其方程-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章 平面解析几何 学 学 习 目 标 1. 理解抛物线的定义及焦点、 准线的概 念和抛物线标准方程中的 P 的几何意义 . 2. 掌握抛物线的标准方程及其推导方法 . 3. 通过抛物线定义和标准方程的学习培 养数学抽象、 直观想象能力 . 4. 借助抛物线标准方程的推导提升逻辑 推理和数学运算的能力 . 要 点 精 析 要点 1 抛物线的定义 1. 定义： 一般地， 设 F 是平面内的一个 定点， l 是不过定点 F 的一条定直线， 则平 面上到 F 的距离与到 l 的距离相等的点的轨 迹称为抛物线 . 2. 相关概念： 定点 F 称为抛物线的焦 点， 定直线 l 称为抛物线的准线 . 思考 在抛物线的定义中， 如果定点 F 在定直线 l 上， 那么动点的运动轨迹是怎 样的呢？ 例 1 （多选题） 下列关于动点 P 的运 动轨迹描述正确的是 （ ） A. 平面内一个动点 P 到一定点 F 距离 ｜PF｜ 与到一定直线 m 距离 d 的比值为 1 ， 点 P 的轨迹是抛物线 B. 过点 F （ 0 ， 3 ） 且和直线 y+3＝0 相切 的动圆圆心的轨迹是抛物线 C. 点 P 到 F （ 0 ， 8 ） 的距离比它到直线 y=-7 的距离大 1 ， P 点的轨迹是抛物线 D. 已知动圆 P 与定圆 C ： （ x-2 ） 2 +y 2 =1 相 外切， 又与定直线 l ： x=-1 相切， 那么动圆 的圆心 P 的轨迹是抛物线 分析 在理解抛物线定义的基础上 ， 用定义进行判断 . 解析： ｜PF｜=d ， 但定点 F 可能在定直线 m 上， 故 A 错误； 动圆圆心到 F （ 0 ， 3 ） 的距离和到直线 y+3＝0 的距离都等于半径， 故 B 正确； ∵ 点 P 到 F （ 0 ， 8 ） 的距离比它到直线 y=-7 的距离大 1 ， ∴ 点 P 到 F （ 0 ， 8 ） 的距离 和它到直线 y=-8 的距离相等， ∴P 点的轨迹 是抛物线， 故 C 正确； 设动圆 P 的半径为 r ， 则 P 到 C 的距离 为 r+1 ， P 到直线 l ： x=-1 的距离为 r ， 由此 可知 P 到直线 x=-2 的距离为 r+1 ， ∴P 点的 轨迹是抛物线， 故 D 正确 . 故选 BCD. 变式训练 1 已知动点 P （ x ， y ） 满足 5 （ x-1 ） 2 +y 2 姨 = ｜4x-3y+2｜ ， 则动点 P 的轨迹是 （ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 直线 D. 抛物线 2.7 抛物线及其方程 2.7.1 抛物线的标准方程 105 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 抛物线的标准方程 抛物线的标准方程 思考 （ 1 ） 抛物线方程中， 字母 p 的 几何意义是什么？ （ 2 ） 求抛物线方程时， 要注意什么？ （ 3 ） 已知抛物线的标准方程， 怎样确 定抛物线的焦点位置和开口方向？ 例 2 求满足下列条件的抛物线的标准 方程： （ 1 ） 已知抛物线的焦点坐标为 - 1 2 ， ! " 0 ； （ 2 ） 已知抛物线的准线方程为 y= 3 2 . 分析 利用抛物线的焦点坐标、 准线 方程求抛物线方程 . 根据已知条件， 确定好抛物线开口的 方向就可以 . 解 ： （ 1 ） ∵ 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 - 1 2 ， ! " 0 ， ∴ 设抛物线标准方程为 y 2 =-2px （ p>0 ） . 由 - p 2 =- 1 2 ， 得 p=1 ， 故抛物线标准 方程为 y 2 =-2x. （ 2 ） ∵ 抛物线的准线方程为 y= 3 2 ， ∴ 设 抛物线标准方程为 x 2 =-2py （ p>0 ） . 由 p 2 = 3 2 ， 得 p=3 ， 故抛物线标准方程为 x 2 =-6y. 变式训练 2 求满足下列条件的抛物线的标准方程： （ 1 ） 过点 M （ -6 ， 6 ）； （ 2 ） 焦点 F 在直线 l ： 3x-2y-6＝0 上 . 例 3 若位于 y 轴右侧的动点 M 到 F 1 2 ， ! " 0 的距离比它到 y 轴的距离大 1 2 . 求 点 M 的轨迹方程 . 分析 把 |MF| 比 M 到 y 轴的距离大 1 2 ， 转化为 |MF | 与点 M 到 x＝- 1 2 的距离相等， 从而利用抛物线定义求解 . 同时要特别注意 自变量的取值范围 . 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y 2 ＝2px （ p＞0 ） p 2 ， ! " 0 x＝－ p 2 y 2 ＝－2px （ p＞0 ） - p 2 ， ! " 0 x＝ p 2 x 2 ＝2py （ p＞0 ） 0 ， p 2 ! " y＝－ p 2 x 2 ＝－2py （ p