2.6 双曲线及其方程-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章 平面解析几何 学 学 习 目 标 1. 理解并掌握双曲线的定义， 会用双 曲线的定义解决问题， 培养数学抽象核心 素养 . 2. 理解双曲线标准方程的推导过程， 会 用定义法和待定系数法求双曲线的标准方 程， 并能运用标准方程解决相关问题， 提升 逻辑推理、 数学运算核心素养 . 要 点 精 析 要点 1 双曲线的定义 一般地， 如果 F 1 ， F 2 是平面内的两个定 点， a 是一个正常数， 且 2a<|F 1 F 2 | ， 则平面 上满足 ||PF 1 |-|PF 2 ||＝2a 的动点 P 的轨迹称为 双曲线， 其中， 两个定点 F 1 ， F 2 称为双曲线 的焦点， 两个焦点的距离 |F 1 F 2 | 称为双曲线 的焦距 . 思考 （ 1 ） 在双曲线的定义中， 若将 条件 “ ||PF 1 |-|PF 2 ||＝2a ” 改为 “ |PF 1 |-|PF 2 |＝ 2a ”， 其他条件不变 ， 动点 P 的轨迹仍为 双曲线吗？ （ 2 ） 在双曲线的定义中， 若将条件“ 2a< |F 1 F 2 | ” 分别改为 “ 2a=|F 1 F 2 | ” 和 “ 2a>|F 1 F 2 | ”， 其他条件不变， 动点 P 的轨迹是什么？ 若 将条件 “ a 是一个正常数” 改为 “ a=0 ”， 其 他条件不变， 动点 P 的轨迹是什么？ 例 1 （多选题 ） 已知动点 P 到点 M （ 1 ， 0 ） 及点 N （ 5 ， 0 ） 的距离之差为 2a ， 则 （ ） A. 当 a=0 时， 点 P 的轨迹是一条直线 B. 当 a=1 时， 点 P 的轨迹是双曲线 C. 当 a=2 时， 点 P 的轨迹是一条射线 D. 当 a=3 时， 点 P 的轨迹是双曲线的 一支 分析 根据双曲线的定义判断 . 解析： 由题意， 知 ｜MN ｜=4 ， 当 a=0 时， ｜PM｜-｜PN｜=0 ， 点 P 的轨迹是线段 MN 的垂直 平分线， 是一条直线， 故 A 正确； 当 a=1 时， ｜PM｜-｜PN｜=2a=2<4 ， 此时点 P 的轨迹是 双曲线的一支 ， 故 B 不正确 ； 当 a=2 时 ， ｜PM｜-｜PN｜=2a=4=｜MN｜ ， 点 P 的轨迹为以 N 为 端点沿 x 轴向右的一条射线， 故 C 正确； 当 a=3 时， ｜PM｜-｜PN｜=2a=6>4 ， 点 P 的轨迹不存 在， 故 D 不正确 . 故选 AC. 变式训练 1 已知动点 P （ x ， y ） 满足 （ x+2 ） 2 +y 2 姨 - （ x-2 ） 2 +y 2 姨 =2 ， 则动点 P 的轨迹是 （ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的左支 D. 双曲线的右支 2.6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 99 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 双曲线的标准方程 思考 （ 1 ） 两种标准方程有哪些相同 点和不同点？ （ 2 ） 如何判断双曲线焦点的位置？ 例 2 根据下列条件， 求双曲线的标准 方程 . （ 1 ） 焦距为 2 6 姨 ， 经过点 （ -5 ， 2 ）， 且焦点在 x 轴上； （ 2 ） 焦点为 （ 0 ， -6 ）， （ 0 ， 6 ）， 且过 点 A （ -5 ， 6 ） . 分析 （ 1 ） 根据焦点位置， 利用待定 系数法设双曲线方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a>0 ， b> 0 ） 即可求解 . （ 2 ） 根据焦点位置， 利用双曲线的定 义即可求解 . 解： （ 1 ） ∵ 焦点在 x 轴上， ∴ 设双曲线 的标准方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ）， 又 ∵ 焦距为 2 6 姨 ， 经过点 （ -5 ， 2 ）， ∴ 25 a 2 - 4 b 2 =1 ， 2c=2 6 姨 ， a 2 +b 2 =c 2 2 $ $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ $ % ， 解得 a 2 =5 ， b 2 =1 ， ∴ 双曲 线的标准方程为 x 2 5 -y 2 =1. （ 2 ） 由已知得 c＝6 ， 且焦点在 y 轴上 . ∵ 点 A （ -5 ， 6 ） 在双曲线上， ∴2a＝| （ -5-0 ） 2 + （ 6+6 ） 2 姨 - （ -5-0 ） 2 + （ 6-6 ） 2 姨 |＝|13-5|＝8 ， 则 a＝4 ， b 2 ＝c 2 -a 2 ＝6 2 -4 2 ＝20 ， ∴ 所求双曲 线的标准方程是 y 2 16 - x 2 20 =1. 变式训练 2 根据下列条件， 求双曲线的标准方程 . （ 1 ） 焦点在 x 轴上， 经过点 P （ 4 ，