2.5 椭圆及其方程-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章 平面解析几何 学 学 习 目 标 1. 掌握椭圆的定义， 会用椭圆的定义解 决问题 . 2. 掌握用定义法和待定系数法求椭圆的 标准方程 . 3. 理解椭圆标准方程的推导过程， 并能 运用标准方程解决相关问题 . 要 点 精 析 要点 1 椭圆的定义及相关的概念 如果 F 1 ， F 2 是平面内的两个定点， a 是 一个常数， 且 2a>｜F 1 F 2 ｜ ， 则平面内满足 ｜PF 1 ｜+ ｜PF 2 ｜=2a 的动点 P 的轨迹称为椭圆， 其中， 两个定点 F 1 ， F 2 称为椭圆的焦点， 两个焦点 之间的距离 ｜F 1 F 2 ｜ 称为椭圆的焦距 . 思考 椭圆定义中， 将 “ 2a>｜F 1 F 2 ｜ ” 改 为 “ 2a<|F 1 F 2 ｜ ” 或 “ 2a=｜F 1 F 2 ｜ ”， 其他条件不 变， 动点 P 的轨迹是什么？ 例 1 平面内， 若点 M 到定点 F 1 （ -1 ， 0 ）， F 2 （ 1 ， 0 ） 的距离之和为 2 ， 则点 M 的轨 迹为 （ ） A. 椭圆 B. 直线 F 1 F 2 C. 线段 F 1 F 2 D. 直线 F 1 F 2 的垂直平分线 解析 ： 由 ｜MF 1 ｜+｜MF 2 ｜=2=｜F 1 F 2 ｜ 知 ， 点 M 的轨迹不是椭圆， 而是线段 F 1 F 2 . 故选 C. 变式训练 1 平面内 ， 若点 M （ x ， y ） 满足关系式 x 2 + （ y+3 ） 2 姨 + x 2 + （ y-3 ） 2 姨 =4 3 姨 ， 则点 M 的轨迹是 （ ） A. 不存在 B. 椭圆 C. 线段 D. 双曲线 要点 2 椭圆的标准方程 思考 （ 1 ） 确定椭圆的标准方程需要 知道哪些量？ （ 2 ） 如何判断椭圆的焦点位置？ 例 2 分别求满足下列条件的椭圆的标 准方程： 2.5 椭圆及其方程 2.5.1 椭圆的标准方程 第 1课时 求椭圆的标准方程 焦点位置 在 x 轴上 在 y 轴上 标准方程 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） y 2 a 2 + x 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 图形 焦点坐标 （ -c ， 0 ）， （ c ， 0 ） （ 0 ， -c ）， （ 0 ， c ） a ， b ， c 的关系 a 2 =b 2 +c 2 x y O F 1 M F 2 x y O F 1 M F 2 87 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 （ 1 ） 两个焦点的坐标分别为 （ -2 ， 0 ） 和 （ 2 ， 0 ）， 椭圆上的点 P 到两焦点距离之 和等于 4 2 姨 ； （ 2 ） 经 过 点 A （ 3 姨 ， -2 ） 和 点 B （ -2 3 姨 ， 1 ） . 分析 利用待定系数法求椭圆的标准 方程， 该解法的一般思路为： 先确定焦点 位置， 设出椭圆标准方程； 如果不确定焦 点位置， 则应分类讨论， 再用待定系数法 求出 a ， b 的值 . 解 ： （ 1 ） 根据题意 ， 设点 P （ x ， y ） ， F 1 （ -2 ， 0 ） ， F 2 （ 2 ， 0 ） ， 则 有 ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜= 4 2 姨 >｜F 1 F 2 ｜=4. 结合椭圆的定义可得， 点 P 的轨迹即是 以 F 1 （ -2 ， 0 ）， F 2 （ 2 ， 0 ） 为焦点， 以 4 2 姨 为长轴的椭圆 ， ∴ 2a=4 2 姨 ， c=2 2 $ $ $ # $ $ $ % ， 因此 b 2 =a 2 - c 2 =4 ， 故点 P 的轨迹方程为 x 2 8 + y 2 4 =1. （ 2 ） 方法一： ① 当焦点在 x 轴上时， 设椭圆的标准方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） . 依题意有 （ 3 姨 ） 2 a 2 + （ -2 ） 2 b 2 =1 ， （ -2 3 姨 ） 2 a 2 + 1 b 2 =1 1 $ $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ $ % ， 解得 a 2 =15 ， b 2 =5 5 ， 故所求椭圆的标准方程为 x 2 15 + y 2 5 =1. ② 当焦点在 y 轴上时， 设椭圆的标准方 程为 y 2 a 2 + x 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） . 依题意有 （ -2 ） 2 a 2 + （ 3 姨 ） 2 b 2 =1 ， 1 a 2 + （ -2 3 姨 ） 2 b 2 =1 2 $ $ $ $ $ $ $ 1 $ $ $ $ $ $ $ % ， 解得 a 2 =5 ， b 2 =15 5 . ∵a>b>0 ， ∴ 方程组无解 . 综上， 所求椭圆的标准方程为 x 2