1.2 空间向量在立体几何中的应用-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 了解空间中的点与空间向量的关系 . 2. 理解直线的方向向量 . 3. 掌握利用空间向量求空间两直线所成 角的方法 . 4. 掌握利用空间向量证明两条直线平行 或垂直的方法 . 5. 理解公垂线段的概念并会求其长度 . 要 点 精 析 要点 1 空间中的点与空间向量 一般地， 如果在空间中指定一点 O ， 那 么空间中任意一点 P 的位置， 都可以由向量 O O" P 唯一确定， 此时， O O" P 通常称为点 P 的位 置向量 . 思考 空间中的向量与平面向量的区 别？ 例 1 已知 O 是坐标原点， A ， B ， C 三 点的坐标分别为 A （ 3 ， 4 ， 0 ）， B （ 2 ， 5 ， 5 ）， C （ 0 ， 3 ， 5 ） . （ 1 ） 若 O O" P = 1 2 （ A O" B -A O" C ）， 求 P 点的坐 标； （ 2 ） 若 P 是线段 AB 上的一点， 且 AP ∶ PB=1 ∶ 2 ， 求 P 点的坐标 . 分析 （ 1 ） 由条件先求出 A O" B ， A O" C 的 坐标， 再利用向量的运算求 P 点的坐标 . （ 2 ） 先把条件 AP ∶ PB=1 ∶ 2 转化为向量 关系， 再运算 . 解： （ 1 ） A O" B = （ -1 ， 1 ， 5 ）， A O" C = （ -3 ， -1 ， 5 ）， O O" P = 1 2 （ A O" B -A O" C ） = 1 2 （ 2 ， 2 ， 0 ） = （ 1 ， 1 ， 0 ）， ∴P 点的坐标为 （ 1 ， 1 ， 0 ） . （ 2 ） 由 P 是线段 AB 上的一点， 且 AP ∶ PB=1 ∶ 2 ， 知 A O" P = 1 2 A O" B . 设点 P 的坐标为 （ x ， y ， z ）， 则 A O" P = （ x-3 ， y-4 ， z ）， P O" B = （ 2-x ， 5-y ， 5-z ）， 故 （ x-3 ， y-4 ， z ） = 1 2 （ 2-x ， 5-y ， 5- z ）， 即 x-3= 1 2 （ 2-x ）， y-4= 1 2 （ 5-y ）， z= 1 2 （ 5-z ） ） % % % % % % % % % % $ % % % % % % % % % % & ， 得 x= 8 3 ， y= 13 3 ， z= 5 3 ） % % % % % % % % % % 3 % % % % % % % % % % & . 因此 P 点的坐标为 8 3 ， 13 3 ， 5 3 3 ) . 反思感悟 此类问题常转化为向量的共线、 向量 的相等解决 . 设出要求的点的坐标， 利用已 知条件得关于要求的点的坐标的方程或方 程组求解即可 . 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.1 空间中的点、 直线与空间向量 14 第一章 空间向量与立体几何 学 变式训练 1 已知点 A （ 2 ， 4 ， 0 ）， B （ 1 ， 3 ， 3 ）， 如 图 1-2-1 ， 以 A A" B 的方向为正方向， 在直线 AB 上建立一条数轴， P ， Q 为轴上的两点 . （ 1 ） 若 AP ∶ PB=1 ∶ 2 ， 求点 P 的坐标； （ 2 ） 若 AQ ∶QB=2 ∶ 1 ， 求点 Q 的坐标 . 要点 2 空间中的直线与空间向量 （ 1 ） 如果 A ， B 是直线 l 上两个不同的 点， 则 v=A A" B ， 即为直线 l 的一个方向向量 . （ 2 ） 如果 v 1 是直线 l 1 的一个方向向量， v 2 是直线 l 2 的一个方向向量， 则 v 1 ∥v 2 圳l 1 ∥ l 2 或 l 1 与 l 2 重合 . （ 3 ） 设 v 1 ， v 2 分别是空间中直线 l 1 ， l 2 的方向向量， 且 l 1 与 l 2 所成角的大小为 θ ， 则 θ= 〈 v 1 ， v 2 〉 或 θ=π- 〈 v 1 ， v 2 〉， ∴sinθ=sin 〈 v 1 ， v 2 〉， cosθ=|cos 〈 v 1 ， v 2 〉 |. （ 4 ） 〈 v 1 ， v 2 〉 = π 2 圳l 1 ⊥l 2 圳v 1 · v 2 =0. （ 5 ） 公垂线段： 一般地， 如果 l 1 与 l 2 是 空间中两条异面直线， M∈l 1 ， N∈l 2 ， MN⊥ l 1 ， MN⊥l 2 . 则称 MN 为 l 1 与 l 2 的公垂线段， 两条异面直线的公垂线段的长， 称为这两条 异面直线之间的距离 . 思考 直线 l 的方向向量唯一吗？ 如 果不唯一， 直线 l 的方向向量之间有怎样 的关