第21讲 导数的最值4种常考考点-2024年高考数学一轮复习考点方法题型总结（新高考专用）

第21讲 导数的最值4种常考考点 【考点分析】 考点一：函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如． 考点二：求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下： ①求函数在内的导数； ②求方程在内的根； ③求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，； ④比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值． 注：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可． ②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值． 考点三：最值与极值的区别与联系 ①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念； ②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值； ③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值． 【典型例题】 题型一：利用导数求函数的最值（不含参） 【例1】已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】函数在上的最大值、最小值分别是 A． B． C． D． 【例3】函数在[0，2]上的最大值是( ) A． B． C．0 D． 【例4】设，在上，以下结论正确的是 （    ） A．的极值点一定是最值点 B．的最值点一定是极值点 C．在上可能没有极值点 D．在上可能没有最值点 【例5】已知函数，，则函数的最大值为（       ） A．0 B． C． D． 【例6】已知函数在x=2处取得极小值，则在上的最大值为______． 【例7】若，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例8】已知函数 (1)当时，求在上的值域； 【例9】已知函数． (1)求函数在区间上的最小值； 【例10】已知函数有极小值． (1)求的单调区间； (2)求在上的最大值和最小值． 【例11】已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当时，求的值域. 【题型专练】 1．（多选题）下列结论中不正确的是（    ）. A．若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数在区间上的极大值 B．若函数在区间上有最小值，则这个最小值一定是函数在区间上的极小值 C．若函数在区间上有最值，则最值一定在或处取得 D．若函数在区间内连续，则在区间内必有最大值与最小值 2.函数的最大值为( ) A．e－1 B．e C．e2 D．10 3．函数在上的最小值为___________． 4.函数在上的最大值为（　　） A． B．π C． D． 5．定义在闭区间上的连续函数有唯一的极值点，且，则下列说法正确的是 A．函数的最大值也可能是 B．函数有最小值，但不一定是 C．函数有最小值 D．函数不一定有最小值 6.在区间上的最小值是（       ） A． B．1 C． D． 7．（多选题）下列说法错误的是（    ） A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大; B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值; C．对于，若，则无极值; D．函数在区间上一定存在最值. 8.函数的最大值为（       ） A． B． C． D． 9.已知函数 (1)当时，求，的最大值和最小值. (2)若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围. 10.设函数． (1)求的单调区间； (2)当时，求的最值． 题型二：根据最值求参数 【例1】已知函数（为常数），在区间上有最大值，那么此函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知函数（），，的最大值为3，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【例3】已知函数的最小值为0．求实数的值； 【例4】已知函数和函数有相同的最大值. (1)求实数的值； (2)直线与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，且.下列两个结论①；②.其中只有一个正确，请选择正确的结论，并证明. 【例5】