3.2 二项式定理与杨辉三角-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 能用计数原理证明二项式定理 . 2. 掌握二项式定理及其展开式的通项 公式 . 3. 会用二项式定理解决与二项展开式有 关的简单问题 ． 要 点 精 析 要点 1 二项式定理的正用、 逆用 二项式定理 一般地， 当 n 是正整数时， 有 （ a+b ） n =C 0 n a n +C 1 n a n-1 b+ … +C k n a n-k b k + … +C n n b n . 上述公式称为二项式定理， 等式右边的 式子称为 （ a+b ） n 的展开式， 它共有 n+1 项， 其中 C k n a n-k b k 是展开式中的第 k+1 项 （通常 用 T k+1 表示）， C k n 称为第 k+1 项的二项式系数 . 例 1 （ 1 ） 求 3 x 姨 + 1 x 姨 姨 # 4 的展开式； （ 2 ） 化简： C 0 n （ x+1 ） n -C 1 n （ x+1 ） n-1 +C 2 n （ x+ 1 ） n-2 - … + （ -1 ） k C k n （ x+1 ） n-k + … + （ -1 ） n C n n . 解： （ 1 ） 方法一 ： 3 x 姨 + 1 x 姨 姨 姨 4 = C 0 4 （ 3 x 姨 ） 4 +C 1 4 （ 3 x 姨 ） 3 · 1 x 姨 +C 2 4 （ 3 x 姨 ） 2 · 1 x 姨 姨 姨 2 +C 3 4 （ 3 x 姨 ） 1 x 姨 姨 姨 3 +C 4 4 1 x 姨 姨 姨 4 = 81x 2 +108x+54+ 12 x + 1 x 2 . 方法二 ： 3 x 姨 + 1 x 姨 姨 姨 4 = 3x+1 x 姨 姨 姨 4 = 1 x 2 （ 1+3x ） 4 = 1 x 2 ·［ 1+C 1 4 · 3x+C 2 4 （ 3x ） 2 +C 3 4 （ 3x ） 3 + C 4 4 （ 3x ） 4 ］ = 1 x 2 （ 1+12x+54x 2 +108x 3 +81x 4 ） = 1 x 2 + 12 x +54+108x+81x 2 . （ 2 ） 原式 =C 0 n （ x+1 ） n （ -1 ） 0 +C 1 n （ x+1 ） n-1 （ -1 ） +C 2 n （ x+1 ） n-2 （ -1 ） 2 + … +C k n （ x+1 ） n-k （ -1 ） k + … + C n n （ -1 ） n = ［（ x+1 ） + （ -1 ）］ n =x n . 反思感悟 （ 1 ） （ a+b ） n 的二项展开式有 n+1 项， 是和的形式， 各项的幂指数规律是： ① 各 项的次数和等于 n ； ② 字母 a 按降幂排列， 从第一项起， 次数由 n 逐项减 1 直到 0 ； 字 母 b 按升幂排列， 从第一项起， 次数由 0 逐项加 1 直到 n. （ 2 ） 逆用二项式定理可以化简多项式， 体现的是整体思想 . 注意分析已知多项式的 特点， 向二项展开式的形式靠拢 . 变式训练 1 化简： （ x-1 ） 5 +5 （ x-1 ） 4 +10 （ x-1 ） 3 +10 （ x- 1 ） 2 +5 （ x-1 ） . 第 1课时 二项式定理 3.2 二项式定理与杨辉三角 20 第三章 排列、 组合与二项式定理 学 要点 2 二项展开式的通项的应用 二项展开式的通项 （ a+b ） n 展开式的第 k+1 项称二项展开式 的通项， 记作 T k+1 =C k n a n-k b k . 思考 二项式系数与二项展开式中项 的系数相同吗？ 例 2 在 x 姨 + 1 2 x 4 姨 姨 # 8 中， 求： （ 1 ） 展开式中含 x 的一次项； （ 2 ） 展开式中所有的有理项 . 解： T k+1 =C k 8 （ x 姨 ） 8-k · 1 2 x 4 姨 姨 姨 k =C k 8 · 2 -k · x 4- 3 4 k . （ 1 ） 令 4- 3 4 k=1 ， 解得 k=4. ∴ 含 x 的一 次项为 T 5 =C 4 8 2 -4 x= 35 8 x. （ 2 ） 令 4- 3 4 k∈Z ， 且 0≤k≤8 ， 则 k= 0 ， 4 ， 8 ， ∴ 含 x 的有理项分别为 T 1 =x 4 ， T 5 = 35 8 x ， T 9 = 1 256x 2 . 反思感悟 求二项展开式的特定项的常用方法： （ 1 ） 对于常数项， 隐含条件是字母的 指数为 0 （即 0 次项） . （ 2 ） 对于有理项， 一般是先写出通项 公式， 求其所有的字母的指数恰好都是整 数的项 . 解这类问题必须合并通项公式中同 一字母的指数， 根据具体要求