第三章 排列、组合与二项式定理 章末复习课-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

第三章 排列、 组合与二项式定理 学 要 点 精 析 要点 1 两个计数原理 1. 分类加法计数原理和分步乘法计数原 理是本章内容的学习基础， 在进行计数过程 中， 常因分类不明导致增 （漏） 解， 因此在 解题中既要保证类与类的互斥性， 又要关注 总数的完备性 . 2. 掌握两个计数原理， 提升逻辑推理和 数学运算素养 . 例 1 （ 1 ） 现有 16 张不同的卡片， 其 中红色、 黄色、 蓝色、 绿色卡片各 4 张， 从 中任取 3 张， 要求这 3 张卡片不能是同一颜 色， 且绿色卡片至多 1 张， 则不同的取法种 数为 （ ） A. 484 B. 472 C. 252 D. 232 （ 2 ） 车间有 11 名工人， 其中 5 名男工 是钳工， 4 名女工是车工， 另外两名老师傅 既能当车工又能当钳工， 现在要在这 11 名 工人里选派 4 名钳工、 4 名车工修理一台机 床， 则有多少种选派方法？ （ 1 ） 解析： 根据题意， 不考虑特殊情 况， 共有 C 3 16 种取法， 其中每一种卡片各取 3 张， 有 4C 3 4 种取法， 取 2 张绿色卡片有 C 2 4 · C 1 12 种取法， 故所求的取法共有 C 3 16 -4C 3 4 -C 2 4 · C 1 12 =472 （种） . 故选 B. （ 2 ） 解： 方法一： 设 A ， B 代表两名老 师傅 . A ， B 都不在内的选派方法有 C 4 5 C 4 4 = 5 （种）， A ， B 都在内且当钳工的选派方法有 C 2 2 C 2 5 C 4 4 =10 （种）， A ， B 都在内且当车工的选派方法有 C 2 2 C 4 5 C 2 4 =30 （种）， A ， B 都在内且一人当钳工， 一人当车 工的选派方法有 A 2 2 C 3 5 C 3 4 =80 （种）， A ， B 有一人在内且当钳工的选派方法 有 C 1 2 C 3 5 C 4 4 =20 （种）， A ， B 有一人在内且当车工的选派方法 有 C 1 2 C 4 5 C 3 4 =40 （种）， ∴ 共有 C 4 5 C 4 4 +C 2 2 C 2 5 C 4 4 +C 2 2 C 4 5 C 2 4 +A 2 2 C 3 5 C 3 4 + C 1 2 C 3 5 C 4 4 +C 1 2 C 4 5 C 3 4 =185 （种） 选派方法 . 方法二： 5 名男钳工有 4 名被选上的方 法有 C 4 5 C 4 4 +C 4 5 C 3 4 C 1 2 +C 4 5 C 2 4 C 2 2 =75 （种）， 5 名男钳工有 3 名被选上的方 法 有 C 3 5 C 1 2 C 4 4 +C 3 5 C 3 4 A 2 2 =100 （种）， 5 名男钳工有 2 名被选上的方 法 有 C 2 5 C 2 2 C 4 4 =10 （种）， ∴ 共有 75+100+10=185 （种） 选派方法 . 方法三： 4 名女车工都被选上的方法有 C 4 4 C 4 5 +C 4 4 C 3 5 C 1 2 +C 4 4 C 2 5 C 2 2 =35 （种）， 4 名女车工有 3 名被选上的方 法 有 C 3 4 C 1 2 C 4 5 +C 3 4 C 3 5 A 2 2 =120 （种）， 4 名女车工有 2 名被选上的方 法 有 C 2 4 C 2 2 C 4 5 =30 （种）， ∴ 共有 35+120+30=185 （种） 选派方法 . 反思感悟 应用两个计数原理计数的四个步骤： 第三章 章末复习课 27 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 （ 1 ） 明确完成的这件事是什么 . （ 2 ） 思考如何完成这件事 . （ 3 ） 判断它属于分类还是分步， 是先 分类后分步， 还是先分步后分类 . （ 4 ） 选择计数原理进行计算 . 变式训练 1 从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 这 6 个数字中 ， 任取 3 个数字组成无重复数字的三位数， 其 中， 若有 1 和 3 时， 3 必须排在 1 的前面； 若只有 1 和 3 中的一个时， 它应排在其他数 字的前面， 这样不同的三位数共有 个 . （用数字作答） 要点 2 排列与组合的综合应用 1. 排列、 组合是两类特殊的计数求解方 式， 在计数原理求解中起着举足轻重的作 用， 解决排列与组合的综合问题要树立先选 后排， 特殊元素 （特殊位置） 优先的原则 . 2. 明确排列和组合的运算， 重点提升数 学建模及数学运算的素养 . 例 2 在高三 （ 1 ） 班元旦晚会上， 有 6 个演唱节目， 4 个舞蹈节目 . （ 1 ） 当要求 4 个舞蹈节目排在一起时， 有多少种不同的节目安排