4.3 统计模型-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 了解变量间的相关关系 . 2. 能根据散点图判断两个变量是否具有 相关关系 . 3. 了解线性回归思想， 会求回归直线方程 . 4. 会判断相关性的强弱， 能根据回归直 线方程进行预测 . 要 点 精 析 要点 1 相关关系的判断 1. 两个变量的关系 2. 散点图： 一般地， 如果收集到了变量 x 和变量 y 的 n 对数据 （简称为成对数据）， 则在平面直角坐标系 xOy 中描出点 （ x i ， y i ）， i＝1 ， 2 ， 3 ， …， n ， 就可以得到这 n 对数据 的散点图 . 3. 线性相关： 如果变量 x 与变量 y 之间 的关系可以近似地用一次函数来刻画， 则称 x 与 y 线性相关 . 4. 正相关与负相关 例 1 （ 1 ） （多选题） 下列关系中， 属 于相关关系的是 （ ） A. 正方形的边长与面积之间的关系 B. 农作物的产量与施肥量之间的关系 C. 出租车车费与行驶的里程 D. 降雪量与交通事故的发生率之间的 关系 （ 2 ） 某种产品的广告支出费 x 与销售 额 y 之间有如下对应数据 （单位： 百万元）： ① 画出散点图； ② 从散点图中判断销售 金额与广告支出费成什么样的关系 . 解析： （ 1 ） A 中， 正方形的边长与面 积之间的关系是函数关系； B 中， 农作物的 产量与施肥量之间不具有严格的函数关系， 但具有相关关系； C 为确定的函数关系； D 中， 降雪量与交通事故的发生率之间具有相 关关系 . 故选 BD. （ 2 ） ① 以 x 对应的数据为横坐标， y 对 应的数据为纵坐标， 所作的散点图如图所示 . ② 从图中可以发现广告支出费与销售金 4.3 统计模型 4.3.1 一元线性回归模型 分类 函数关系 相关关系 特征 两变量关系确定 两变量关系带有不确定性 正相关 负相关 一个变量增大， 另一个 变量大致是增大的 一个变量增大， 另一个 变量大致是减少的 x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 70 60 50 40 30 2 84 5 6 x y O 图 4-3-1 68 第四章 概率与统计 学 额之间具有相关关系， 并且当广告支出费由 小变大时， 销售金额也大多由小变大， 图中 的数据大致分布在某条直线的附近， 即 x 与 y 成正相关关系 . 反思感悟 两个变量是否相关的两种判断方法： （ 1 ） 根据实际经验： 借助积累的经验 进行分析判断 . （ 2 ） 利用散点图： 通过散点图， 观察 它们的分布是否存在一定的规律， 直观地 进行判断 . 如果发现点的分布从整体上看大 致在一条直线附近， 那么这两个变量就是 线性相关的， 注意不要受个别点的位置的 影响 . 变式训练 1 （多选题 ） 在下列所示的四个图中 ， 每个图的两个变量具有相关关系的是 （ ） 要点 2 回归直线方程及其应用 1. 最小二乘法 一般地， 已知变量 x 与 y 的 n 对成对数 据 （ x i ， y i ）， i＝1 ， 2 ， …， n ， 任意给定一个 一次函数 y＝bx＋a ， 对每一个已知的 x i ， 由直 线方程可以得到一个估计值 y i ＾ =bx i +a ， 如果一 次函数 y ＾ = b ＾ x+ a ＾ 能使 （ y 1 ＾ -y 1 ） ２ + （ y 2 ＾ -y 2 ） ２ + … + （ y n ＾ - y n ） 2 = n i=1 移 （ y i - y i ＾ ） 2 取得最小值， 则 y ＾ = b ＾ x+ a ＾ 称为 y 关于 x 的回归直线方程 （对应的直线称为回 归直线）， 因为是使得平方和最小， 所以其 中涉及的方法称为最小二乘法 . 2. 回归直线方程的系数计算公式 3. 回归直线方程的性质 （ 1 ） 回归直线一定过点 （ x ， y ） . （ 2 ） 一次函数 y ＾ = b ＾ x+ a ＾ 的单调性由 b ＾ 的符 号决定， 函数递增的充要条件是 b ＾ >0. （ 3 ） 回归系数 b ＾ 的实际意义： 当 x 增大 一个单位时， y ＾ 平均变化 b ＾ 个单位 . 思考 正相关、 负相关与 b ＾ 的符合有何 关系？ 例 2 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析， 得到下表数据： （ 1 ） 请画出上表数据的散点图； （ 2 ） 请根据上表提供的数据， 用最小二 乘法求出 y 关于 x 的回归直线方程 y ＾ = b ＾ x+ a ＾ ； （ 3 ） 试根据求出的回归直线方程， 预测 记忆力为 9 的同学的判断力 . x y O x y O x y O x y O A B C D 回归直线 方