4.3.2 独立性检验-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 4.3.2独 学习目标 1.了解2×2列联表、随机变量X的 意义 2.理解独立性检验中PX≥k)的具体 含义 3.掌握独立性检验的方法和步骤，并能 解决实际问题 要点精析 川要点12x2列联表及随机事件的概率· 1.2×2列联表 如果随机事件A与B的样本数据如下 表形式： A A 总计 B a b a+b B d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 在这个表格中，核心的数据是中间的4个 格子，所以这样的表格通常称为2x2列联表. 2.2×2列联表中随机事件的概率 如上表，记n=a+b+c+d,则： (1)事件A发生的概率可估计为P(A)= a+c (2)事件B发生的概率可估计为P(B)= a+b n (3)事件AB发生的概率可估计为P(AB) =a (74)学 立性检验 例1随着全民运动健康意识的提高， 马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城 市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口 逐年增加.为此，某市对人们参加马拉松运 动的情况进行了统计调查.其中一项调查是 调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取 200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天 数进行统计，得到以下统计表， 平均每周进行长跑 不大于3天或 不少于 训练的天数 2天 4天 5天 人数 30 130 40 若某人平均每周进行长跑训练天数不少 于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称 为“非热烈参与者” (1)经调查，该市约有2万人参与马拉 松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数. (2)根据上表的数据，填写下列2×2列 联表 热烈参与者 非热烈参与者 总计 男 140 女 55 总计 反思感悟 列2×2列联表的关注，点： (1)作2×2列联表时，注意应该是4 行4列，计算时要准确无误 (2)作2×2列联表时，关键是对涉及 的变量分清类别， B变式训练① 在对人们饮食习惯的一次调查中，共调 查了124人，其中六十岁以上的70人，六 十岁以下的54人.六十岁以上的人中有43 人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类 为主；六十岁以下的人中有21人的饮食以 蔬菜为主，另外33人则以肉类为主 (1)请根据以上数据作出饮食习惯与年 龄的列联表 (2)求年龄在六十岁以上且饮食以肉类 为主的人群的概率. 第四章概率与统计。 川要点2独立性检验 1.定义：在2×2列联表中，定义随机 变量 n(ad-bc)2 -(atb)(ed)(ate)(bd) 任意给定 (称为显著性水平)，可以找到满足条件 P(X≥k)=a的数k(称为显著性水平a对 应的分位数) (1)若X≥k成立，就称在犯错误的概 率不超过α的前提下，可以认为A与B不 独立（也称A与B有关），或说有1-α的把 握认为A与B有关 (2)若X<k成立，就称不能得到前述 结论 这一过程通常称为独立性检验. 2.统计学中，常用的显著性水平α以及 对应的分位数k如下表所示 ax=PX2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.6357.879 10.828 思考若X<k成立，则说明事件A与 B无关，对吗？ 例2某人研究中学生的性别与成绩、 视力这两个变量的关系，随机抽查52名中 学生，得到统计数据如表1与表2，则与性 别有关联的可能性较大的变量是 表1 成绩 性别 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女 10 22 32 总计 16 36 52 学 75 高中数学选择性必修第二册人教B版 表2 视力 性别 好 差 总计 男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 36 52 例3某商场为提高服务质量，随机调 查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客 对该商场的服务给出满意或不满意的评价， 得到下面列联表， 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务 满意的概率 (2)能否有95%的把握认为男、女顾客 对该商场服务的评价有差异？ n(ad-be)2 附：X2（a+b)(c+d(a+e)(b+d) a=PX2≥k) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 反思感悟 独立性检验的应用中需要注意的问题： (1)X2计算公式较复杂，一是公式要 清楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三 是计算时要细心 (2)判断时把计算结果与临界值比较， 其值越大，有关的可信度越高： (76)学 B变式训练② 为了调查胃病是否与生活规律有关，在 某地对540名40岁以上的人的调查结果 如下 患胃病 未患胃病 总计 生活不规律 60 260 320 生活有规律 20 200 220 总计 80 460 540 根据以上数据判断，40岁以上的人患 胃病与生活是否有规律有关吗？高中数学选择性必修第二册人教B版 62+82=145, 立-344+5+6+7T135, 139-5×5×5 r= =7V2≈0.9899，故 V145-5x5×V135-5x5 10 0.75<r<1,认为y与x线性相关性很强. 对5网 (2)由(1)知6=句 139-5×5x5-0.7,又 ∑好-5x 145-5×52 x=y=5,a=y-6x=5-0.7×5=1.5,故y关于x的回归直线方 程为y=0.7x+1.5,当x=10时，y=0.7×10+1.5=8.5,即10 年的失效费用估计为8.5万元. 变式训练7(1)D (2)0.3【解析】(1)r1越接近 1,相关性越强.故选D 2-10 (2)r= 237-10x2.8×7.5 V3034-10x2.8×V5985-10750.3 第2课时相关系数与非线性回归方程 要点精析 例1解：(1)由散点图，知年广告费用x和年利润额 y的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，且y与x 呈正相关..选择回归类型y=mx更好. (2)对y=mxc两边取自然对数，得lny=nm+lnx, v=ny,u=nx,则=lnm+hu,由表中数据，得 ew-10i =日 30.5-10x1.5×1.5_1 46.5-10x1.5×1.53, lnm-0-ku-1.5-x1.5=1.:m-e. .年广告费用x和年利润额y的回归方程为y=ex 变式训练1解：(1)根据散点图，知y=c+kx更适合 作为y关于x的回归方程 -10四 (2)令=，则y=c+h:,则= ∑-10e 1 (52 350-10x3x10=5,y-a=-5,y=-5+5 100-10×32 y关于x的回归方程为y=-5+三 例2解：(1)0<r<r2<1,y=ce更适合作为y关于 x的回归方程类型。 (2)x=1+2+3+45+6+7+8=36=45,由=ce,得 8 8 Iny=lnc+dx,w=Inc+dx, 2(a-w-0-55=015, 则a= 立a 42 n-0-i-084-82x45=04, .y=ce=eaHeIs=1.15eais. 变式训练2B【解析】u=lny=ln(aer)=lna+lne-lna+bx→ =c+bx,故选B. 例3解：(1)根据散点图，知y=c+dnx更适宜作为每 户平均可支配收入y(千元)关于年份代码x的回归方 程模型.由已知数据，得d=白 (u-0-) ∑07西 w ∑成-7派 235.1-7x12x22,7=14.2,故c=y-dm=22.7-14.2x1.2≈ 13.2-7×1.2×1.2 5.7,故y关于x的回归方程为y=5.7+14.2lnx. (2)由题意，知2017年到2023年共7年，其中一 年的每户平均可支配收入超过22千元的有4年，故“恰 有一年的每户平均可支配收入超过22千元”的概率为 P(A)=CiC_4 C-7 变式训练3D【解析】分别将x值代入解析式判断，知 满足y=2+nx. 4.3.2独立性检验 要点精析 例1解：(1)以200人中“热烈参与者”的频率作为 概率，可得该市“热烈参与者”的人数约为20000× 40=4000 200 (2)由题意可得2x2列联表如下. 热烈参与者 非热烈参与者 总计 男 35 105 140 女 5 55 60 总计 40 160 200 变式训练1解：(1)饮食习惯与年龄的2×2列联表如 下 年龄在六 年龄在六 总计 十岁以上 十岁以下 饮食以蔬菜为主 43 21 64 饮食以肉类为主 27 33 60 总计 70 54 124 (2)由列联表，得年龄在六十岁以上且饮食以肉类 为主的人群的概率为27 124 例2视力【解析】x252x62214x10Y 52x82 16x36x32X20 16x36x32x20' X-52x4x20-16x122 52×1122 16x36×32×20 16×36×32×20 ，X,故视力 与性别有关联的可能性较大 例3解：(1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满 意的频率为0=0,8，因此男顾客对该商场服务满意的概 50 率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的频率为 ,因此女题客对该商场服务满意的概 为0.6. (2)X=100x4020-30x102≈4,762.由于4.762> 50x50×70x30 3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的 评价有差异。 变式训练2解：由公式得X-540x(60x200-260x202 320x220×80x460 ≈9.638.9.638>6.635，.有99%的把握说40岁以上的 人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易 患胃病 参考答案。 ·■第四章章末复习课 例1解：设B=“飞机被击落”，A,=“飞机被i人击 中”，i=1,2,3,则B=AB+AB+AB. 依题意，P(BM1)=0.2,P(BA2)=0.6,P(BLA3)=1.由 全概率公式P(B)=P(A1)P(BM1)+P(A2)P(BM2)+P(A:)· P(BA3),为求P(A),设H,=“飞机被第i人击中”，= 1,2,3,可求得 P(A)=P(H H2Hs+H H2H3+H H2Hs), P(A2)=P(HHHHH+), P(A3)=P(HHH3),将数据代入计算得P(A1)=0.36, P(A2)=0.41,P(A)=0.14,于是P(B)=P(A)P(BA)+ P(A2)P(BA2)+P(A3)P(BA3)=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1= 0.458,即飞机被击落的概率为0.458. 变式训练1B【解析】记事件A=“红色骰子的点数为4 或6”，事件B=“两颗骰子的点数之积大于20”.P(A)= 1 是号，a8品)nM=亨令故 3 选B 例2解：(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆， 没有引爆的可能情况是射击5次只击中一次或一次也没 有击中，故该事件的概率为PC×号×号片+号.： 所求的概率为1-1-Cx号×号+兮广门器 (2)当=4时，记事件为A,则P(A)=P(=4)=C× 子×兮×号号，当5时，意陈者前4次射击只击 中一次或一次也未击中，记为事件B,则P(B)=P(5=5)= Cx×号片-兮产)，所求概率为PAU-) 寺g7 变式训练2解：(1)设A:表示事件“一个试用组中， 服用甲种抗病毒药物有效的有i人”，i0,1,2,B,表 示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的 有行人”，=0,1,2，依题意有P(A)-2x3×3 3,PM=×=4,PA=号×号-号，PB)-2x 号×号-号，放一个试用组为“甲类组”的概率为 53