4.2 随机变量-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 通过实例， 了解离散型随机变量的 概念 . 2. 通过实例， 理解离散型随机变量与事 件的联系 . 要 点 精 析 要点 1 随机变量的概念及分类 思考 随机变量与随机试验的结果的 关系是怎样的？ 例 1 下列变量中， 哪些是随机变量？ 哪些是离散型随机变量？ 并说明理由 . （ 1 ） 某机场一年中每天运送乘客的 数量； （ 2 ） 某单位办公室一天中接到电话的 次数； （ 3 ） 2021 年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间 所查酒驾的人数； （ 4 ） 一瓶果汁的容量为 （ 500±2 ） mL. 解： （ 1 ） 某机场一年中每天运送乘客 的数量可能为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， …， 是随机变化 的， 因此是随机变量， 也是离散型随机变量 . （ 2 ） 某单位办公室一天中接到电话的次 数可能为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， …， 是随机变化的， 因此是随机变量， 也是离散型随机变量 . （ 3 ） 2021 年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间， 所查酒驾的人数可能为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， …， 是 随机变化的， 因此是随机变量， 也是离散型 随机变量 . （ 4 ） 由于果汁的容量在 498～502 mL 之 间波动， 是随机变量， 但不是离散型随机 变量 . 变式训练 1 指出下列随机变量是不是离散型随机变 量， 并说明理由 . （ 1 ） 从 10 张已编好号码的卡片 （ 1 号到 10 号） 中任取一张， 被取出的卡片的号数； （ 2 ） 一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑 球， 从中任取 3 个， 其中所含白球的个数； （ 3 ） 某林场的树木最高达 30 m ， 则此 4.2 随机变量 4.2.1 随机变量及其与事件的联系 概念 一般地 ， 如果随机试验的样本空间为 Ω ， 而且对于 Ω 中的每一个样本点， 变量 X 都 对应有唯一确定的实数值， 就称 X 为一个 随机变量 表示 随机变量一般用大写英文字母 X ， Y ， Z ， …或小写希腊字母 ξ ， η ， ζ ， …表示 取值 随机变量的取值由随机试验的结果决定 取值 范围 随机变量所有可能的取值组成的集合， 称 为这个随机变量的取值范围 分类 离散型随机 变量 随机变量的所有可能取值可以 一一列举出来 连续型随机 变量 随机变量的取值范围包含一个 区间， 不能一一列举出来 42 第四章 概率与统计 学 林场中树木的高度； （ 4 ） 某加工厂加工的某种铜管的外径与 规定的外径尺寸之差 . 要点 2 随机变量的取值及其表示的事件 随机变量与事件的关系： 一般地， 如果 X 是一个随机变量， a ， b 都是任意实数， 那 么 X＝a ， X≤b ， X>b 等都表示事件， 而且： （ 1 ） 当 a≠b 时， 事件 X＝a 与 X＝b 互斥； （ 2 ） 事件 X≤a 与 X>a 相互对立， 因此 P （ X≤a ） ＋P （ X>a ） ＝1. 例 2 （ 1 ） 射手对目标进行射击， 击中 目标得 1 分， 未击中目标得 0 分， 该射手在 一次射击中的得分用 ξ 表示， 已知 P （ ξ＝0 ） ＝ 0.3 ， 则 P （ ξ＝1 ） ＝ ； （ 2 ） 某人参加一次比赛， 比赛共设三 关， 第一、 二关各有两个必答题， 如果每关 两个问题都答对， 可进入下一关， 第三关有 三个问题， 只要答对其中两个问题， 则闯关 成功 . 每过一关可一次性获得价值分别为 1 000 元、 3 000 元、 6 000 元的奖品 （不重 复设奖）， 用 X 表示此人所获奖品的价值， 写出 X 的所有可能取值及每个值所表示的 事件 . 解析： （ 1 ） ξ 可能取值为 0 ， 1 ， 当 ξ＝0 时， 表明该射手在本次射击中没有击中目 标； 当 ξ＝1 时， 表明该射手在本次射击中击 中目标， 这两个事件是对立的， 所以 P （ ξ＝ 1 ） ＝1－P （ ξ＝0 ） ＝0.7. （ 2 ） 解 ： X 的可能取值为 0 ， 1 000 ， 3 000 ， 6 000. X＝0 ， 表示第一关就没有通过； X＝1 000 ， 表示第一关通过， 而第二关没有 通过； X＝3 000 ， 表示第一、 二关通过， 而 第三关没有通过； X＝6 000 ， 表示三关都通过 . 反思感悟 随机变量的取值及表示的事件问题的 关注点： （ 1 ） 关键： 明确随机变量的所有可能 取值， 以及取每一个值时对应的意义， 即 一个随机变量的取值可能对应一个或多个 随机试验的结果 . （ 2 ） 注意： 解答过程中不要漏掉某些 试验结果 . （ 3 ） 公式：