专题03 空间向量的应用压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题03 空间向量的应用压轴题 （学生版） 1.空间两点间的距离公式 设，则 . 2.平面的法向量：直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量. 3.空间中直线、平面的平行 （1）线线平行:若分别为直线的方向向量,则使得 . （2）线面平行:设直线的方向向量,是平面的法向量,，则 . 法2:在平面内取一个非零向量,若存在实数,使得,且，则. 法3:在平面内取两个不共线向量,若存在实数，使得,且,则 （3）面面平行:设分别是平面的法向量，则，使得. 4. 空间中直线、平面的垂直 （1）线线垂直:若分别为直线的方向向量,则. （2）线面垂直: 设直线的方向向量, 是平面的法向量,则，使得. 法2: 在平面内取两个不共线向量,若.则. （3）面面垂直: 设分别是平面的法向量，则. 5.用空间向量研究距离、夹角问题 （1）点到直线的距离：已知是直线上任意两点, 是外一点，，则点到直线的距离为. (2)求点到平面的距离 已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为. （3）直线与直线的夹角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. (4)直线与平面的夹角 设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为.则. （5）平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则 题型一 异面直线所成的角 例1．(1)．在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． (2).三棱锥中，两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是（     ） A． B． C． D． (3).在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． (4).如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，是线段的中点，是线段上一点（不与两点重合），且．若直线与所成角的余弦值是，则（    ） A． B． C． D． 练习题 (1).已知四面体满足，，，且该四面体的体积为，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 (2)．四棱柱中，侧棱底面，，，，侧面为正方形，设点O为四棱锥外接球的球心，E为上的动点，则直线与所成的最小角的正弦值为（    ） A． B． C． D． (3).如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的取值范围为（    ）(参考数据：) A． B． C． D． (4).已知正方体的棱长为，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C．3 D． (5).在正方体中，点（异于点）是棱上一点，则满足与，所成的角为45°的点的个数为 A．0 B．3 C．4 D．6 题型二 直线与平面所成的角 例2.(1)在正方体中，点，分别是，上的动点，当线段的长最小时，直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． (2).如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（    ）． A． B． C． D． (3).在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． (4).如图，平面平面，，，．平面内一点P满足，记直线与平面所成角为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． (5).图1是中国古代建筑中的斗拱结构，，是互相垂直横梁，是与横梁垂直的立柱，从柱顶上加的一层层探出成弓形的承重结构即为斗拱.在某古代建筑中（图2），记，，，与平面所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 练习题 (1).在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． (2).如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 (3).如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成.在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为（    ）    A． B． C． D． (4).中，，，将绕旋转得，当直线与平面所成角正弦值为时，P、A两