第三章 函数-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 能够在初中用变量之间的依赖关系描 述函数的基础上， 理解用集合语言和对应关 系刻画函数， 能够准确表述函数概念 . 2. 能够正确求出简单函数的定义域 . 3. 能够准确判断两个函数是否是同一个 函数 . 4. 能够正确求出函数值以及简单函数的 值域 . 要 点 精 析 要点 1 函数的概念 一般地， 给定两个非空实数集 A 与 B ， 以及对应关系 f ， 如果对于集合 A 中的每一 个实数 x ， 按照对应关系 f ， 在集合 B 中都 有唯一确定的实数 y 与 x 对应， 则称 f 为定 义在集合 A 上的一个函数 ， 记作 y=f （ x ）， x∈A ， 其中 x 称为自变量， y 称为因变量， 自变量的取值范围 （即数集 A ） 称为这个函 数的定义域， 所有函数值组成的集合 {y∈B| y=f （ x ）， x∈A} 称为函数的值域 . 思考 函数 f （ x ）的值域就是集合 B 吗？ 例 1 （ 1 ） 如图， 可作为函数 y=f （ x ）的 图象的是 （ ） （ 2 ） 下列三个说法： ① 若函数的值域只含有一个元素， 则定 义域也只含有一个元素； ② 若 f （ x ） =5 （ x∈R ）， 则 f （ π ） =5 一定 成立； ③A={ 中国， 巴西， 英国 } ， B={ 亚洲 ， 南美洲， 欧洲 } ， 则 A 到 B 的对应关系： 国 家所在的洲， 是 A 到 B 的一个函数 . 其中正确说法的个数为 （ ） A. 0 B. 1 第三章 函 数 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第 1课时 函数的概念 x y O x y O x y O x y O A B C D 62 第三章 函 数 学 C. 2 D. 3 （ 3 ） 已知集合 A= ［ 0 ， 8 ］， 集合 B= ［ 0 ， 4 ］， 则下列对应关系中， 不能看作是从 A 到 B 的函数关系的是 （ ） A. f ： x→y= 1 8 x B. f ： x→y= 1 4 x C. f ： x→y= 1 2 x D. f ： x→y=x 分析 紧扣函数的定义， 两个非空实 数集 A 与 B ， 集合 A 中元素具有任意性， 集合 B 中元素具有唯一性 . 解析 ： （ 1 ） 观察图象可知 ， 选项 A ， B ， C 中任取一个 x 的值， y 有可能有多个值 与之对应， ∴ 这三项不是函数图象 . D 中图 象是函数图象 . 故选 D. （ 2 ） ① 错误 . 若函数的值域只含有一个 元素， 则定义域不一定只含有一个元素 . ② 正确 . ∵ f （ x ） =5 ， 这个数值不随 x 的 变化而变化， ∴ f （ π ） =5. ③ 错误 . 函数是两个非空数集之间的对 应关系 . 故选 B. （ 3 ） 对于 A 中的任意一个元素， 在对应 关系 f ： x→y= 1 8 x ； f ： x→y= 1 4 x ； f ： x→y= 1 2 x 下， 在 B 中都有唯一的元素与之对应， 故能构成函数关系 . 对于 A 中的元素 8 ， 在 对应关系 f ： x→y=x 下， 在 B 中没有元素与 之对应， 故不能构成函数关系 . 故选 D. 变式训练 1 设集合 M={x|0≤x≤2} ， N={y|0≤y≤2} ， 给出如下四个图形， 其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是 （ ） 变式训练 2 下列从集合 A 到集合 B 的对应关系 f 是 函数的是 （ ） A． A＝{－1 ， 0 ， 1} ， B＝{－1 ， 0 ， 1} ， f ： A 中的数加 1 B． A＝{－1 ， 0 ， 1} ， B＝{－1 ， 0 ， 1} ， f ： A 中的数取绝对值 C． A＝Z ， B=Q ， f ： A 中的数取倒数 D． A＝{ 平行四边形 } ， B＝R ， f ： 求 A 中 平行四边形的面积 要点 2 求函数的定义域 函数的定义域即式子有意义的自变量取 值的集合 . 思考 根据函数解析式求定义域， 应 该注意哪些方面的限制条件？ 例 2 求下列函数的定义域： （ 1 ） y= （ x+1 ） 2 x+1 - 1-x 姨 ； x y O 2 2 1 y 2 2 1 x O y 1 2 x O A C D y 2 2 x O B 63 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 （ 2 ） y= 3-x 姨 |x|-5 . 分析 根据解析式得出式子有意义的 条件， 比如： 偶次根式的被开方数为非负 数， 分式的分母不能为零等， 列出相应的 不等式进行解答 . 解： （ 1 ） 要使函数式有意义