第04讲 二次函数与一元二次方程、不等式的关系-【专题突破】2023-2024学年九年级数学上册重难点及章节分类精品讲义（浙教版）

第4讲 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系 考点一：二次函数与方程的关系 【知识点睛】 · 求两函数图象的交点 对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n、水平直线y＝m: ①当求抛物线与x轴的交点横坐标时→则令抛物线的y=0，即：ax2+bx+c=0； ②当求抛物线与直线y＝kx+n的交点坐标时→则联立两个函数解析式，得，先求x，[即]，再代入直线解析式求y，(x,y)的对应值即为所求交点的坐标； ③当求抛物线与水平直线y＝m的交点是→则联立两个解析式，得 ，先求x，[即ax2+bx+c=m];再代入抛物线解析式求y，(x,y)的对应值即为所求交点的坐标； · 判断抛物线与直线的交点个数 对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n、水平直线y＝m: ①求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数→ax2+bx+c=0 △=b2-4ac， ∴有：△＞0，抛物线与x轴有2个交点； △＝0，抛物线与x轴有1个交点； △＜0，抛物线与x轴无交点； ②求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n交点个数→ 整理得：， ∴有：△＞0，抛物线与直线y＝kx+n有2个交点； △＝0，抛物线与直线y＝kx+n有1个交点； △＜0，抛物线与直线y＝kx+n无交点； ③求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与水平直线y＝m交点个数→ 整理得：，后续求交点个数方法同上。 · 一元二次方程ax2+bx+c=n的解的几何意义 将“=”左边的部分看作抛物线y＝ax2+bx+c，“=”右边的部分看作水平直线y＝n，则方程ax2+bx+c=n即在两函数图象的交点横坐标，所以交点横坐标的值就是方程的解。 【类题训练】 1．方程2x2﹣3x﹣4＝0的解，可看成以下两个函数图象交点的横坐标，其中正确的个数是（　　） ①②③④ A．4 B．3 C．2 D．1​ 2．若抛物线y＝﹣x2+4x﹣2向上平移m（m＞0）个单位后，在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．0＜m≤2 C．0＜m≤7 D．2≤m＜7 3．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小王同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2+2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（　　） A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣1 B．当x＝﹣1时，函数有最大值是4 C．当x＝﹣3或x＝1时，函数有最小值是0 D．当﹣1＜x＜1或x＜﹣3时，函数值随值的增大而减小 4．抛物线交x轴于O（0，0），A两点，将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于另一点A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于另一点A2；…，如此进行下去，形成如图所示的图象，则下列各点在图象上的是（　　） A．（2022，1） B．（2022，﹣1） C．（2023，1） D．（2023，﹣1） 5．抛物线y＝﹣x2+bx+3的部分图象如图所示，则一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根为（　　） A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣3 6．抛物线y＝x2+2x+a﹣2与坐标轴有且仅有两个交点，则a的值为（　　） A．3 B．2 C．2或﹣3 D．2或3 7．关于x的方程x2+bx﹣c＝0的两根分别是x1＝﹣1，x2＝3，若点A是二次函数y＝x2+bx﹣c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为（　　） A． B． C．2 D．3 8．如表中列出的是二次函数y＝ax2+bx+c中x与y的几组对应值： x … ﹣1 0 1 2 … y ﹣1 2 … 下列说法错误的是（　　） A．图象开口向下 B．顶点坐标为（1，2） C．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小 D．这个函数的图象与x轴无交点 9．二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴的交点情况是（　　） A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定 10．某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格： x …… ﹣2 ﹣1 0 1 2 …… y …… ﹣1 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …… 由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．0 D．﹣1 11．二次函数y＝x2﹣4x+n与x轴只有一个交点．若关于x的方程x2﹣4x+n＝t（t为实数），在0＜x＜5范围内有解．则t的取值范围是（　　） A．0≤t＜4 B．0≤t＜9 C．4＜t＜9 D．t≥0 12．已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与