10.3 复数的三角形式及其运算-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册同步练习（人教B版）

练 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 基 础 练 习 一、 选择题 1. 复数 1＋ 3 姨 i 改写成三角形式， 正确 的是 （ ） A. 2 cos ２π ３ +isin ２π ３ ３ # B. 2 cos π ３ +isin π ３ ３ ３ C. 2 cos ５π ３ +isin ５π ３ ３ ３ D. 2 cos 11π 6 +isin 11π 6 ３ ３ 2. 若复数 z 的模为 2 ， 其辐角为 ２π ３ ， 则 z i = （ ） A. 3 姨 ＋i B. 3 姨 －i C. 1－ 3 姨 i D. 1＋ 3 姨 i 3. 已知 i 为虚数单位， z 1 = 2 姨 （ cos60°+ isin60° ）， z 2 =2 2 姨 （ sin30°-icos30° ）， 则 z 1 · z 2 = （ ） A. 4 （ cos90°+isin90° ） B. 4 （ cos30°+isin30° ） C. 4 （ cos30°-isin30° ） D. 4 （ cos0°+isin0° ） 4. 计算 3 （ cos270°+isin270° ） 1 3 ［ cos （ -90° ） +isin （ -90° ）］ 的结 果是 （ ） A. -9 B. 9 C. -1 D. 1 5. （多选） 下列表示复数 1+i 的三角形 式中正确的有 （ ） A. 2 姨 cos π 4 +isin π 4 ３ ３ B. 2 姨 cos - π 4 ３ ３ +isin π 4 4 ' C. 2 姨 cos 9π 4 +isin 9π 4 ３ # D. 2 姨 cos π 4 +isin 3π 4 ３ # 二、 填空题 6. 复 数 1 cos π 3 + isin π 3 的 代 数 形 式 是 . 7. 3 姨 cos 5π 12 +isin 5π 12 ３ # × 6 姨 ３ cos 5π 6 + isin 5π 6 # = （用代数形式表示） . 8. 复数 z=cos π 15 +isin π 15 是方程 x 5 -α=0 的 一个根， 那么 α 的值等于 . 三、 解答题 9. 如图 ， 若 OZ () 1 与 OZ () 2 分别表示复数 z 1 =1＋2 3 姨 i ， z 2 =7＋ 3 姨 i ， 求 ∠Z 2 OZ 1 ， 并判 断 △OZ 1 Z 2 的形状 . * 10.3 复数的三角形式及其运算 x y O Z 1 Z 2 第 9 题图 30 第十章 复 数 练 10. 已知复数 z 1 ， z 2 满足 |z 1 |=|z 2 |=1 ， 且 z 1 +z 2 = 1 2 + 3 姨 2 i ， 求 z 1 ， z 2 的值 . 提 升 练 习 11. 复数 2+i 和 -3-i 的辐角主值分别是 α ， β ， 则 tan （ α+β ） 等于 （ ） A. 3 姨 B. - 3 姨 3 C. -1 D. 1 12. 复数 -i 的一个立方根是 i ， 它的另外 两个立方根是 （ ） A. 3 姨 2 ± 1 2 i B. - 3 姨 2 ± 1 2 i C. ± 3 姨 2 + 1 2 i D. ± 3 姨 2 - 1 2 i 13. 把复数 z 1 与 z 2 对应的向量 OA "# ， OB "$ 分别按逆时针方向旋转 π 4 和 5π 3 后， 重合于 向量 OM "$ 且模相等， 已知 z 2 =-1- 3 姨 i ， 则复 数 z 1 的代数式和它的辐角主值分别是 （ ） A. - 2 姨 + 2 姨 i ， 3π 4 B. - 2 姨 - 2 姨 i ， 3π 4 C. - 2 姨 + 2 姨 i ， π 4 D. - 2 姨 - 2 姨 i ， π 4 14. 在复平面内， 复数 z=a+bi （ a∈R ， b∈R ） 对应向量 OZ "$ （ O 为坐标原点）， 设 |OZ "$ | =r ， 以射线 Ox 为始边， OZ 为终边旋转的角 为 θ ， 则 z=r （ cosθ+isinθ ）， 法国数学家棣莫 弗发现棣莫弗定理： z 1 =r 1 （ cosθ 1 +isinθ 1 ）， z 2 = r 2 （ cosθ 2 +isinθ 2 ）， 则 z 1 z 2 =r 1 r 2 ［ cos （ θ 1 +θ 2 ） +isin （ θ 1 + θ 2 ）］， 由棣莫弗定理导出了复数乘方公式： z n = ［ r （ cosθ+isinθ ）］ n =r n （ cosnθ+isinnθ ）， 则 （ -1 + 3 姨 i ） 10 = （ ） A. 1024-104 3 姨 i B. -1024+1 024 3 姨 i C. 512-512