9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 会在各种应用问题中， 抽象或构造出 三角形， 标出已知量、 未知量， 确定解三角 形的方法， 理清利用解斜三角形可解决的各 类应用问题及基本图形和基本等量关系。 2. 能够用正、 余弦定理求解与距离、 高 度、 角度有关的实际应用问题 . 要 点 精 析 要点 1 解三角形应用题的一般步骤 （ 1 ） 准确理解题意， 分清已知与所求 . （ 2 ） 依题意画出示意图 . （ 3 ） 分析与问题有关的三角形 . （ 4 ） 运用正、 余弦定理， 有序地解相关 的三角形， 逐步求解问题的答案 . （ 5 ） 回归实际问题， 作出解答 . 思考 1 解三角形实际应用问题时首 先作出图形， 把实际问题转化到三角形内 解决， 其中需要掌握实际应用中常用的角 有 . 要点 2 测量有障碍物相隔的两点间的 距离 求距离时， 常常会遇到方位角、 方向角 等概念， 要正确理解、 应用这些概念构造三 角形， 并确定三角形的边和角， 利用正、 余 弦定理来解决 . 思考 2 求距离问题的类型及方法 例 1 如图， A ， B ， C 为山脚两侧共线 的三点， 在山顶 P 处测得这三点的俯角分别 为 α=30° ， β=60° ， γ=45° ， 现计划沿直线 AC 开通一条穿山隧道 DE ， 经测量 AD=100 m ， BE=34 m ， BC=85 m. （ 1 ） 求 PB 的长； （ 2 ） 求隧道 DE 的长 . （精确到 1 m ） 附： 2 姨 ≈1.414 ； 3 姨 ≈1.732 分析： （ 1 ） 求出 ∠PCB ， 在 △PCB 中 由正弦定理即可得结果 . （ 2 ） 在 △PAB 中求出 AB 即可得结果 . 解： （ 1 ） 由题意得 ∠BPC=β-γ=60°-45° 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 P α β γ A B CD E 图形 需要测量的元素 解法 ∠ACB＝α AC＝b BC＝a 用余弦定理 AB＝ ∠ACB＝α ∠ABC＝β CB＝a 用正弦定理 AB＝ ∠ADC＝α ∠BDC＝β ∠BCD＝δ ∠ACD＝γ CD＝a 在 △ADC 中， AC＝ 在 △BDC 中， BC＝ 在 △ABC 中， 应用 求 AB 求 AB 求 水 平 距 离 山 两 侧 河 两 岸 河 对 岸 A B C A B C D A B C α β γ δ 22 第九章 解三角形 学 =15° ， ∠PCB=γ=45° ， 在 △PCB 中， 由正弦定理得 PB sin∠PCB = BC sin∠BPC ， sin15°=sin （ 45°-30° ） = 6 姨 - 2 姨 4 ， 即 PB= 85× 2 姨 2 6 姨 - 2 姨 4 ≈232 （ m ） . （ 2 ） 在 △PAB 中 ， ∠PAB =α =30° ， ∠ABP=β=60° ， ∴∠APB=90° ， ∴AB=2PB≈464 （ m ） ， ∴DE=AB-AD- BE=464-100-34≈330 （ m ） . 反思： 测量距离问题实质是求一条线 段的长度 . 求解时， 恰当地画出 （找出） 适 合解决问题的三角形， 将已知线段长度和 角度转化为要解的三角形的边长和角， 使 用正弦定理或者余弦定理求长度 . 变式训练 1 某快递公司在我市的三个门店 A ， B ， C 分别位于一个三角形的三个顶点处， 其中 门店 A ， B 与门店 C 都相距 a km ， 而门店 A 位于门店 C 的北偏东 50° 的方向， 门店 B 位于门店 C 的北偏西 70° 的方向 ， 则门店 A ， B 间的距离为 （ ） A. a km B. 2 姨 a km C. 3 姨 a km D. 2a km 例 2 江岸边有一炮台高 30 m ， 江中有 两艘船， 船与炮台底部在同一水平面上， 由 炮台顶部测得俯角分别为 45° 和 60° ， 而且 两艘船与炮台底部连线成 30° 角 . （ 1 ） 分别求两艘船与炮台底部的距离； （ 2 ） 求两艘船的距离 . 分析： （ 1 ） 画出图形， 由已知直接解 三角形即可求出两艘船与炮台底部的距离 . （ 2 ） 在 △BCD 中由余弦定理即可求出 . 解 ： （ 1 ） 如 图 ， 设 A 为炮台顶部， B 为 炮台底部， 则 AB=30. 设 A 处观察小船 C 的俯角为 45° ， 即 ∠ACB=45° ， A 处观察小 船 D 的俯角为 60° ， 即 ∠ADB=60° ， 则在等腰 Rt△ABC 中， BC=AB=30 ， 在 Rt△ABD 中 ， tan60°= AB BD ， 则 BD= 10 3 姨 ， ∴ 两艘船与炮台底部的距