9.1 正弦定理与余弦定理-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第九章 解三角形 学 学 习 目 标 1. 掌握正弦定理的基本应用 . 2. 会判断三角形的形状 . 3. 会利用正弦定理的变形求解三角形 . 4. 借助正弦定理的推导， 提升逻辑推理 的素养 . 5. 通过正弦定理变形公式的应用， 培养 数学运算的素养 . 要 点 精 析 要点 1 已知两角和任一边， 利用正弦 定理解三角形 当给出三角形两角和任一条边时可解三 角形， 具体步骤可如下： （ 1 ） 已知三角形的两个角， 利用 A+B+ C=π ， 可求出第三个角 . （ 2 ） 由正弦定理 a sinA = b sinB = c sinC ， 可 求出三角形的另两条边边长 . 思考 1 如何用 △ABC 的外接圆证明 这一定理？ 例 1 在 △ABC 中， 若 A=60° ， B=45° ， BC=3 2 姨 ， 则 AC= . 分析： 已知两角和一角对边， 可直接 利用正弦定理求解 . 解析： 由 AC sinB = BC sinA ， 得 AC= BCsinB sinA = 3 2 姨 sin45° sin60° =2 3 姨 . 变式训练 1 在锐角 △ABC 中 ， 已知 sinA= 5 姨 5 ， cosB= 3 10 姨 10 . 若 △ABC 的最长边为 10 姨 ， 则最短边为 . 例 2 △ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边 分别是 a ， b ， c ， 若 A=105° ， B=45° ， b=2 2 姨 ， 则 c 等于 （ ） A. 1 B. 2 姨 C. 3 姨 D. 2 第九章 解三角形 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正弦定理 第 1课时 1 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 分析： 先由内角和为 180° 计算得 C= 30° ， 再利用正弦定理计算 . 解析： 由已知得 C=180°-B-A=30° ， 根 据正弦定理得 2 2 姨 sin45° = c sin30° ， 得 c=2 ， 故 选 D. 变式训练 2 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分别 为 a ， b ， c ， A=45° ， B=120° ， a=6 ， 则 c= . 要点 2 已知两边和一边的对角， 利用 正弦定理解三角形 已知 a ， b 和 A ， 可解三角形， 但需注 意角的大小， 具体步骤可如下： （ 1 ） 由正弦定理 a sinA = b sinB ， 求出 sinB. （ 2 ） 若 sinB=1 ， 则 B= π 2 ； 若 sinB≠1 ， 利用三角形中 “大边对大角” 看能否判断所 求角为锐角： 当 A 为大边所对的角时， 则 B 为锐角； 当 A 为小边所对的角时， 则 B 有 互补的锐角和钝角两个解 . （ 3 ） 利用 A+B+C=π ， 先求出 C ， 再由正 弦定理求出 c. 也可从下图判断三角形解的个数问题： 思考 2 “ △ABC 中， A<B ” 是 “ sinA <sinB ” 的什么条件？ 例 3 在 △ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边 分别为 a ， b ， c ， 若 a= 2 3 姨 3 ， b= 2 姨 ， B= 2π 3 ， 则 A 等于 . 分析： 在 △ABC 中， 由正弦定理求得 sinA= 2 姨 2 ， 结合 a<b ， 得到 A<B （或者由 B= 2π 3 知， 角 A 一定为锐角）， 即可求解 . 解 析 ： ∵△ABC 中 ， a = 2 3 姨 3 ， b = 2 姨 ， B= 2π 3 ， 由正弦定理可得 a sinA = b sinB ， ∴sinA= asinB b = 2 姨 2 ， ∵a<b ， ∴A<B ， ∴A∈ 0 ， 2π 3 3 & ， 可得 A= π 4 . 变式训练 3 在 △ABC 中， a=4 ， b= 5 2 ， 5cos （ B+C ） + 3=0 ， 则角 B 的大小为 （ ） A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 6 或 5π 6 例 4 若 △ABC 的内角 A ， B ， C 所对的 边分别为 a ， b ， c ， a=80 ， b=100 ， A=30° ， 则 B 的解的个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定 分析： 首先利用正弦定理得 sinB= 5 8 ， 一解 两解 一解 a b A B a b A B B a a b A B bsinA<a<ba=bsinA a≥b 2 第九章 解三角形 学 再利用 sinB 的范围可得角 B 的范围， 即可 求得结果 . 解析： ∵a=80 ， b=100 ， A=30° ， ∴ a sinA = b sinB ， 即 80 sin30° = 100