11.3 空间中的平行关系-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第十一章 立体几何初步 学 学 习 目 标 1. 掌握空间中两条直线平行的判定与 性质 . 2. 理解并掌握等角定理， 并会应用 . 3. 理解异面直线的定义， 会画两条异面 直线 . 4. 了解空间四边形的定义 . 要 点 精 析 要点 1 平行直线与等角定理 （ 1 ） 平行公理： 过直线外一点有且只有 一条直线与已知直线平行 ． （ 2 ） 平行线的传递性： 平行于同一条直 线的两条直线互相平行 ． 这一性质称为空间 平行线的传递性 ． （ 3 ） 等角定理： 如果一个角的两边与另 一个角的两边分别对应平行， 并且方向相 同， 那么这两个角相等 . 思考 1 空间中如果两个角的两边分 别对应平行， 这两个角具有什么关系？ 例 1 如图， ABCD鄄A′B′C′D′ 为长方体， 底面是边长为 a 的 正方形， 高为 2a ， M ， N 分别 是 CD 和 AD 的中点 . （ 1 ） 判断四边形 MNA′C′ 的形状； （ 2 ） 求证： ∠DNM＝∠D′A′C′. 分析： （ 1 ） 利用平行线的传递性和三 角形中位线可以找到 MN 与 A′C′ 位置关系 和数量关系 . （ 2 ） 由等角定理容易发现空间 中所证两角相等 . 解： （ 1 ） 连接 AC. ∵M ， N 分别是 CD 和 AD 的中点， ∴MN ∥ 1 2 AC. ∵ABCD鄄A′B′C′D′ 为长方体， ∴ 四边形 ACC′A′ 为矩形 . ∴A′C′ ∥ AC ， ∴MN ∥ 1 2 A′C′ ， ∴ 四边形 MNA′C′ 是梯 形 . 在 △A′AN 和 △C′CM 中 ， ∵∠A′AN= ∠C′CM=90° ， A′A=C′C=2a ， AN=CM= 1 2 a ， ∴△A′AN≌△C′CM. ∴A′N=C′M. ∴ 四边形 MNA′C′ 是等腰梯形 . （ 2 ） 证明： ∵MN∥A′C′ ， 又 ∵ND∥A′D′ ， ∴∠DNM 与 ∠D′A′C′ 相等或互补 . 而 ∠DNM 与 ∠D′A′C′ 均是直角三角形 的一个锐角， ∴∠DNM=∠D′A′C′. 变式训练 1 如 图 ， 三 棱 柱 ABC鄄 A 1 B 1 C 1 中， E ， F ， G 分别为 棱 A 1 C 1 ， B 1 C 1 ， B 1 B 的中点， 则 ∠EFG 与 ∠ABC 1 （ ） A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 大小关系不确定 11.3 空间中的平行关系 11.3.1 平行直线与异面直线 M N A B C D A′ B′ C′ D′ G F E A B C A 1 B 1 C 1 79 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 异面直线的判定 方法 1 ： 证明两条直线既不平行又不 相交 . 方法 2 ： 重要结论： 连接平面内一点与 平面外一点的直线， 和这个平面内不经过此 点的直线是异面直线 . 用符号语言可表示为 A埸 α ， B∈α ， B埸l ， l奂α ， 则 AB 与 l 是异面直线 （如图） . 思考 2 判定两条直线是异面直线的 方法有哪些？ 例 2 如图， 已知不 共面的直线 a ， b ， c 相交 于点 O ， M ， P 是直线 a 上两点， N ， Q 分别是 b ， c 上的点 . 求证： MN 和 PQ 是异面直线 . 证明： 法一： 可以从异面直线的反面出 发， 利用反证法导出矛盾 . 假设 MN 和 PQ 不是异面直线， 则 MN 与 PQ 在同一平面内， 此平面设 为 α. ∵M ， P∈α ， M ， P∈a ， ∴a奂α. ∵O∈α ， N∈α 且 O∈b ， N∈b ， ∴b奂α. 同理 c奂α ， ∴a ， b ， c 共面于 α ， 与 a ， b ， c 不共面 矛盾 . ∴MN ， PQ 是异面直线 . 法二： 设交于点 O 的直线 a ， c 确定的 平面为 α. ∵N埸α ， M∈α ， M埸 直线 PQ ， 直线 PQ奂 α ， ∴ 直线 PQ 与直线 MN 是异面直线 . 变式训练 2 判断 （正确的画 “ √ ”， 错误的画 “ × ”） （ 1 ） 若 a奂α ， b奂β ， 则 a ， b 是异面 直线 . （ ） （ 2 ） 若 a 与 b 异面， b 与 c 异面， 则 a 与 c 异面 . （ ） （ 3 ） 若 a ， b 不同在任何一个平面内 ， 则 a 与 b 异面 . （ ） 要点 3 空间四边形 顺次连接不共线的四点 A ， B ， C ， D 所 构成的图形， 叫作空间四边形 . 这四个点中 的各个点叫作空间四边形的顶点； 所连接的 相邻顶点间的线段叫作空间四边形的边； 连 接不相邻的顶点的线段叫作空间四边形的对 角线 .